MMG600 V24 Reell analys
| Lärare | Kurslitteratur | Program | Övningar |
| Studieresurser |
Kurskrav | Duggor | Examination |
| Tentamensrutiner |
Kursutvärdering | Gamla tentor |
Aktuella meddelanden
Välkommen till kursen Reell analys!
Lärare
Kursansvarig/examinator: Thomas Wernstål, tel 772 3557, rum MVL 3037
Kurslitteratur
Walter Rudin: Principles of Mathematical Analysis, tredje upplagan. Kap 1-4, 7 (ej 7.28-7.33), 9
Föreläsningsanteckningar med bl.a. kompletterande innehåll som inte täcks av Rudin t.ex. vad det gäller konstruktion av de reella talen med hjälp av Cauchyföljder, Urysohn's lemma och Weierstrass' approximationssats. Anteckningarna kommer publiceras under fliken Moduler efter respektive föreläsning.
Se även kurslitteraturlistan, där det även finns information om försäljningsställe.
Engelsk-svensk matematisk ordlista.
Program
Syftet med kursen är att ge en ökad förtrogenhet med de begrepp, metoder och idéer som genomsyrar den reella analysen, med tonvikt på begreppen konvergens och kontinuitet i metriska rum. I kursen ingår bland annat konstruktion av de reella talen, överuppräknelighet, topologi i metriska rum, kontinuitet och kompakthet, följder och funktionsföljder, funktioner av flera variabler och inversa funktionssatsen (med bevis).
Schema: Undervisningen består av föreläsningar/lektioner (oftast kl 8:00 - 11:45 på tisdagar i MVF33, samt torsdagar kl.10:00-11:45 i Euler & kl.13:15-15:00 i MVF33, men med undantag vissa veckor). För fullständigt, och uppdaterat, schema se TimeEdit.
Under kursen erbjuds tre duggor som kan ge bonuspoäng till den ordinarie tentan och de två efterföljande omtentorna. Duggorna ges under schemalagd tid i samma lokal som undervisningen. Mer detaljerad information om innehåll, tid och annat praktiskt kring duggorna kommer ges i samband med undervisningen och i anslag här på kurshemsidan (samt i korthet i nedanstående planering). Kom i tid till duggorna! Du riskerar att inte bli insläppt efter att duggan har startat.
Preliminärt program för föreläsningarna
R=Uppgifter från kursboken (Rudin) ; Ö=Uppgifter ur övningshäftet ; *=kommer demonstreras på övningstid
t.ex. betyder Ö3: 1,5*,7 uppgift 3,5,7 på kapitel 3 i övningshäftet, varav uppgift 5 planeras att demonstreras vid tavlan på lämplig övningstid (om tid finns).
| Vecka | Dag | Avsnitt | Innehåll och kommentarer | Rekommenderade uppgifter |
|---|---|---|---|---|
| v 12 |
Förel.1 Ti 19/3 |
Föreläsningsanteckningar+ 1.1 - 1.23 |
Introduktion till kursen Bakgrund om tal, kroppar, ordningar och supremumegenskapen, samt lite om urvalsaxiomet. |
Ö1: 3,4*,7,8,10,11,12*,13,14,19 R1: 1,8,9 |
|
Förel.2 To 21/3 |
Föreläsningsanteckningar+ 2.1 - 2.14 |
Konstruktion av kroppen Uppräknelighet och kardinalitet. |
Ö2: 1,2,4-10,11*,12*,13 |
|
| v 13 |
Förel.3 Ti 26/3 |
Föreläsningsanteckningar | Fortsättning på konstruktionen av |
Ö1: 23-32 |
| v 15 |
Förel.4 Ti 9/4 |
2.15 - 2.25 |
Metriska rum, hopningspunkter, öppna/slutna mängder, täthet mm |
Ö2: 19,21*,23,26,28,30, 31*,69,39-44,45*,47*,48,52 R2: 5-10 |
|
Förel.5 To 11/4 |
2.26-2.35 | forts. från föregående lektion, samt om kompakthet och öppna övertäckningar |
Ö2: 53-55,56*,57-60,61*,63* R2: 12-15,29 |
|
| v 16 |
Förel.6 Ti 16/4 |
2.36 - 2.42 3.1-3.2, 3.5-3.6 |
Heine-Borel's sats. Följder och delföljder i metriska rum. Bolzano–Weierstrass sats. |
Ö3: 1-3,5 |
|
Förel.7 To 18/4 |
3.8 - 3.12
|
Cauchyföljder, fullständighet. (övriga avsnitt i kap 3 ingår i tidigare analyskurser) Dugga 1 (relaterar huvudsakligen till föreläsning 1 - 4) |
Ö3: 7-10,13*,15,16,17*,18*,19 R3: 20,23 |
|
| v 17 |
Förel.8 Ti 23/4 |
4.1 - 4.12 |
Kontinuitet. |
Ö4: 1-3,4*,5,6,8,9,11*,12,13,14*,15,16*,19 R4: 1-4,14 |
|
Förel.9 To 25/4 |
4.13 - 4.21 |
Likformig kontinuitet. Urysohn's lemma. |
Ö4: 21,22,23*,24,27-30 R4: 8,11 |
|
| v 18 |
Förel.10 Ti 30/4 |
2.45 - 2.47, 4.22 - 4.24 samt föreläsningsanteckningar |
Sammanhängande mängder. |
Ö4: 31-37, 38*,39*,40,41*, 43*,44*,45,46 R2: 19,20 |
|
Förel.11 To 2/5 |
7.1 - 7.18 7.16 - 7.25 läses kursivt. 7.26 |
Funktionsföljder (innehåll delvis känt från tidigare kurser). Dugga 2 (relaterar huvudsakligen till föreläsning 5 - 7) Weierstrass' approximationssats. |
Ö7: 1-6,7*,8*,9 R7: 1-3,7,20 |
|
| v 19 |
Förel.12 Ti 7/5 |
9.1 - 9.9 9.10 - 9.21 |
Linjära operatorer. Differentierbarhet. (innehåll delvis känt från tidigare kurser) |
Ö9: 1-6 R9: 5-7 |
| v20 |
Förel.13 Ti 14/5 |
9.22 - 9.29 | Kontraktioner, fixpunkt, Inversa och Implicita funktionssatserna |
Ö9: 7-18 R9: 16,23 |
|
Förel.14 To 16/5 |
9.24 - 9.29 |
forts. Inversa och Implicita funktionssatserna Dugga 3 (relaterar huvudsakligen till föreläsning 8 - 11) |
|
|
| v 21 |
Förel.15 Ti 21/5 |
Repetition och/eller gamla tentor. | ||
|
Förel.16 To 23/5 |
Repetition och/eller gamla tentor. |
Övningar
Rekommenderade övningsuppgifter (utöver de ur kursboken) finns samlade i dokumentet: Uppgifter
Vissa uppgifter i häftet utvecklar teorin, och är alltså del av kursens innehåll.
Huvuddelen av lektionerna kommer upptas av föreläsning, men det kommer också finnas tid för att ställa frågor (oftast i slutet av lektionerna) och demonstration av uppgifter. Oftast kommer jag själv att välja lämpliga uppgifter (ur övningshäftet och kursboken) för demonstration. I mån av tid och önskemål får även gärna kursdeltagare själva presentera lösningar vid tavlan. Hör i så fall av er till mig för mer instruktioner.
To the top - Lärare - Kurslitteratur - Program - Övningar - Studieresurser - Kurskrav - Duggor - Examination - Tentamensrutiner - Kursutvärdering - Gamla tentor
Studieresurser
- Den viktigaste resursen är lärarna på kursen. Använd undervisningstiden till att fråga lärarna, speciellt på räkneövningarna. Att ställa matematikfrågor via e-post är inte alls lika effektivt och lärare har oftast inte tid att besvara utan hänvisar till räkneövningar.
- Mattesupporten är öppen för alla som studerar matematik på Göteborgs universitet eller Chalmers. Stängd under corona-tiderna.
- För dig som studerar på Göteborgs universitet och har behov av extra stöd för funktionsnedsättning – se information på GU samt rutinerna vid institutionen.
Kurskrav
Kursens mål finns angivna i kursplanen.
Du bör kunna formulera och förstå alla kursens definitioner och satser (inkl bevis) samt kunna tillämpa dem. Minst ett av följande bevis kommer på tentamen:
- Konstruktion av R mha Cauchyföljder (kan komma frågor på delar av konstruktionen)
- R är överuppräkneligt (se anteckningar till föreläsning 2)
- Sats 2.30
- Sats 2.33
- Sats 2.34
- Cantors inkapslingssats (Cor till Sats 2.36 - se även anteckningar till föreläsning 5)
- Sats 2.37
- Sats 2.40
- Heine-Borel's sats (a medför b i Sats 2.41 - se anteckningar till föreläsning 6)
- Sats 3.6
- Sats 3.11
- Sats 4.8
- Sats 4.14
- Sats 4.19
- Urysohn's lemma, inkl. resultat som behövs för beviset (övn 4.20-4.22 - se anteckningar till föreläsning 9)
- Sats 4.22
- Sats 7.11 (räcker med fallet då funktionerna är definierade i gränspunkten - se anteckningar till föreläsning 11)
- Cauchyvillkoret för likformig konvergens (Sats 7.8)
- Sats 7.15
- Weierstrass' approximationssats (Sats 7.26)
- Sats 9.7
- Sats 9.8
- Sats 9.23
- Inversa funktionssatsen (kan komma frågor på delar av beviset)
To the top - Lärare - Kurslitteratur - Program - Övningar - Studieresurser - Kurskrav - Duggor - Examination - Tentamensrutiner - Kursutvärdering - Gamla tentor
Duggor
Under kursens gång ges tre stycken duggor - se programmet ovan.
Varje dugga ger maximalt tre poäng. Genomsnittet av poängen på duggorna (avrundat till närmsta "halvtal") ger bonuspoäng till den skriftliga tentamen.
Examination
Kursen examineras genom en skriftlig tentamen fredagen den 31 maj kl.8:30-12:30 (se studieportalen för tillfällen vid omtentamen)
Tentamen består av ca 7 uppgifter som tillsammans ger 25 poäng. För att bli godkänd krävs 12 poäng och för att få väl godkänt krävs 20 poäng.
Eventuella bonuspoäng från duggorna (max 3 poäng) får tillgodoräknas fram till och med andra omtentan, dvs januari 2025.
To the top - Lärare - Kurslitteratur - Program - Övningar - Studieresurser - Kurskrav - Duggor - Examination - Tentamensrutiner - Kursutvärdering - Gamla tentor
Tentamensrutiner
I tentamensscheman anges alla tentor för respektive period. Eftersom tentorna skrivs på Chalmersområdet så gäller Chalmers regler för salstentamen. Observera att du som går på GU ska anmäla dig till tentan via GU:s studentportal, där du även kan läsa om regler för examination vid GU. Tänk på att anmäla dig i tid till tentan!
Vid tentamen ska du kunna uppvisa giltig legitimation.
Du kan själv gå in i Ladok för att se dina resultat.
Granskning vid ordinarie tentamen:
Då det är praktiskt möjligt ordnas ett separat granskningstillfälle av tentamen. Tidpunkt för detta meddelas på kurshemsidan. Den som inte kan delta vid granskningen kan efter granskningstillfället hämta och granska sin tenta på Matematiska vetenskapers studieexpedition, se information om öppettider. Kontrollera att Du har fått rätt betyg och att poängsumman stämmer. Eventuella klagomål på rättningen ska lämnas skriftligt på expeditionen, där det finns en blankett till hjälp.
Granskning vid omtentamen:
Tentorna granskas och hämtas ut på Matematiska vetenskapers studieexpedition, se information om öppettider. Eventuella klagomål på rättningen ska lämnas skriftligt på expeditionen, där det finns en blankett till hjälp.
To the top - Lärare - Kurslitteratur - Program - Övningar - Studieresurser - Kurskrav - Duggor - Examination - Tentamensrutiner - Kursutvärdering - Gamla tentor
Kursutvärdering
I början av kursen bör minst två studentrepresentanter utses för att tillsammans med lärarna genomföra kursutvärderingen. Utvärderingen sker genom samtal mellan lärare och studentrepresentanter under kursens gång samt vid ett möte efter kursens slut då enkätresultatet diskuteras och rapport skrivs.
Studentrepresentanter:
- My Linh Dao (gusmylda at student.gu.se)
- Albin Almgren Nylén (gusalmgral at student.gu.se)
- Tage Lindahl (guslindata at student.gu.se)
Rapport från möte med studentrepresentanterna efter kurs.
Gamla tentor
Tentor och lösningsförslag:
250107.pdf , 250107_losningar.pdf
240828.pdf , 240828_losningar.pdf
240531.pdf , 240531_losningar.pdf
240103.pdf , 240103_losningar.pdf
230823.pdf , 230823_losningar.pdf
230602.pdf , 230602_losningar.pdf
Tentor för tidigare kursomgångar (med annan examinator): 190607, 190830, 200109, 210827, 220103
Här är mina lösningsförslag till dessa 5 salstentor.
To the top - Lärare - Kurslitteratur - Program - Övningar - Studieresurser - Kurskrav - Duggor - Examination - Tentamensrutiner - Kursutvärdering - Gamla tentor