MVB300 H24 Den moderna matematiken och dess historia

Hoppa fram till i dag

På denna sida finns programmet för kursen, dvs i detta fallet för dess föreläsningar, samt information om inlämningsuppgifter. Övriga uppgifter, såsom t.ex. kursmål, lärare, kurslitteratur och examination, finns i ett separat kurs-PM.

 

Hej och välkomna till denna nya kurs som önskar ge er en introduktion till den moderna matematiken och dess historia!

Matematiken är ett av våra främsta verktyg för att beskriva och förstå vår omvärld. Samtidigt kan matematik, inte minst modern sådan, tyckas obegriplig för den oinvigde.  Men det finns ändå ett antal grundläggande idéer som format viktiga delar av den moderna matematiken, och som man inte behöver allt för mycket förkunskaper för att kunna ta till sig. 

Mitt mål med kursen är att försöka förmedla några av dessa centrala idéer, att samtidigt ge en inblick i vilka framsteg som gjorts inom matematiken de senaste säg 200 åren, och att peka på vilka konsekvenser detta fått för vår förståelse av världen omkring oss.

I kursen ingår åtta föreläsningar, var och en med ett specifikt tema. En preliminär lista med temata kan ni se nedan.

Av pedagogiska skäl kommer jag inte att prata så mycket om differentialkalkyl, integralkalkyl och linjär algebra, trots att detta naturligtvis är mycket viktiga områden med en uppsjö av slående tillämpningar. Orsaken till detta val är att relativt många stött på dessa teorier under sina gymnasie- eller högskolestudier. Istället väljer jag att fokusera på sådant som jag gissar är mer okänt för flertalet kursdeltagare.

För att bli godkänd på kursen måste ni närvara vid minst sex föreläsningar. Till varje föreläsning hör ett antal instuderingsfrågor som ni förväntas arbeta med under tiden innan nästa föreläsning. Ni lämnar sedan in era svar via Canvas. Mer om examinationen finns att läsa i kurs-PMet.

Program

Kursens schema finns i TimeEdit. Notera att föreläsningssalen varierar. Vissa tillfällen är vi i Euler, andra gånger är vi i Pascal.

Följande upplägg för föreläsningarna är preliminärt och kan komma att ändras.

Föreläsningar

Dag Avsnitt Innehåll
3/9 Oändligheter Föreläsningsanteckningar
17/9 Det imaginära Föreläsningsanteckningar
1/10 Symmetri Föreläsningsanteckningar
15/10 Paralleller Föreläsningsanteckningar
29/10 Deformationer och invarianter Föreläsningsanteckningar
12/11 Harmoni Föreläsningsanteckningar
26/11 Slump Föreläsningsanteckningar
10/12 Struktur Föreläsningsanteckningar

 

Inlämningsuppgifter

Föreläsning 1: Oändligheter

1. Läs den bifogade texten The language and grammar of mathematics ur The Princeton Companion to Mathematics.

2. I grekisk mytologi slåss Herkules mot hydran, ett ormlikt monster med till en början nio huvuden. Varje gång Herkules med sitt svärd hugger av ett av huvudena växer det dock fram två nya huvuden i dess ställe. Om Herkules ges oändligt med tid, kan han hugga av alla hydrans huvuden? Fundera, tänk ut ett svar och förklara hur du tänker.

3. Under föreläsningen definierade jag kardinaltalet c, kontinuum, som storleken av mängden av alla reella tal mellan 0 och 1 (vilket skrivs [0,1]), dvs c:=|[0,1]|. Låt R beteckna mängden av alla reella tal. Förklara varför |R|=c.

4. Låt A beteckna en mängd. Kom ihåg att P(A) betecknar mängden av delmängder till A. Cantors sats säger nu att |A|<|P(A)|. Se om du själv kan hitta ett bevis för detta genom att efterlikna diagonalargumentet i beviset för |N|<|[0,1]| som jag gick igenom på föreläsningen. Om det visar sig för svårt, kolla upp beviset på wikipedia. Skriv sedan ner en förklaring av beviset i dina egna ord.

5. Läs på om urvalsaxiomet och kopplingen till välordnade mängder. Fundera på om du själv tror på axiomet eller inte. Skriv ner de i ditt tycke starkaste argumenten för respektive emot urvalsaxiomet.

6. I boken Vårt matematiska universum formulerar Max Tegmark en hypotes som han kallar Matematiskt universum-hypotesen. Den säger att vår yttre verklighet är en matematisk struktur, dvs en abstrakt mängd av entiteter som det finns relationer mellan. Fundera över detta. Tror du på Tegmarks hypotes? Skriv ner de i ditt tycke starkaste argumenten för respektive emot Matematiskt universum-hypotesen.

Vidare läsning för den intresserade:

Infinity: A very short introduction, av I. Stewart. 

The mystery of the aleph: Mathematics, the kabbalah, and the search for infinity, av A. Aczel.

Journey to the edge of reason: The life of Kurt Gödel, av S. Budiansky.

The honors class: Hilbert’s problems and their solvers, av B. Yandell.

Artikel i Quanta magazine om förslag på nya axiom för mängdläran: https://www.quantamagazine.org/to-settle-infinity-question-a-new-law-of-mathematics-20131126

Vårt matematiska universum, av M. Tegmark.

Det finns också mycket relevant att läsa i The Princeton companion of mathematics, av Gowers et al. och The road to reality av Roger Penrose.

Föreläsning 2: Det imaginära

1. Visa att   LaTeX: x_1=\sqrt[3]{b/2+\sqrt{b^2/4+a^3/27}}+\sqrt[3]{b/2-\sqrt{b^2/4+a^3/27}}   löser ekvationen   LaTeX: x^3+ax=b , såsom Scipione del Ferro påstod.

2. Läs på om hur Girolamo Cardano fick reda på Scipione del Ferros formel och vilket debacle som följde.

3. Visa att LaTeX: \sqrt{1+\sqrt{-3}}+\sqrt{1-\sqrt{-3}}=\sqrt{6} .

4. Om LaTeX: z=re^{i\theta}, (r>0) definierar vi den komplexa logaritmen av z som LaTeX: \ln(z):=\ln r+i\theta, och om z och w är två komplexa tal definierar vi LaTeX: z^w:=e^{w\ln(z)}. Vad blir då  LaTeX: i^i ? Finns det fler än ett svar?

5. Låt LaTeX: i, j och LaTeX: k vara de tre imaginära enheterna i Hamiltons kvaternioner. Kom ihåg att LaTeX: i^2=j^2=k^2=ijk=-1. Visa att LaTeX: ij=-ji, dvs multiplikation av kvaternioner är inte alltid kommutativt!

5,5. Säg att vi skulle försöka definiera en tredimensionell talkropp på följande sätt: en kubion är ett tal på formen LaTeX: a+bi+cj där a,b och c är reella tal och i och j är två olika imaginära enheter sådana att LaTeX: i^2=j^2=ij=-1. Varför funkar inte detta bra?

6. Strax efter kvaternionerna upptäcktes oktonionerna. Läs på lite om dessa.

7. En spektakulär tillämpning av de komplexa talen som jag tyvärr inte hann ta upp på föreläsningen är kopplingen mellan primtalens fördelning och Riemanns zeta-funktion. Om detta handlar matematikens mest kända olösta problem, Riemannhypotesen. Den som löser detta problem får en miljon dollar (minst) och kommer dessutom att skriva in sig i historieböckerna. Läs på lite om Riemannhypotesen och dess historia.

Vidare läsning för den intresserade:

An imaginary tale: The story of LaTeX: \sqrt{-1}, av P. J. Nahin.

A brief history of numbers, av L. Corry.

Artikeln The octonions av J. Baez i Bulletin of the American Mathematical Society.

The music of the primes, av M. du Satoy.

Helgoland: den relationella tolkningen av kvantfysiken, av C. Rovelli.

QED: The strange theory of light and matter, av R. Feynman.

Återigen finns också mycket relevant att läsa i The Princeton companion of mathematics, av Gowers et al. och The road to reality av Roger Penrose.

Föreläsning 3: Symmetri

1. Fyll i Cayleytabellen för den liksidiga triangelns symmetrigrupp.

2. Konstruera Cayleytabellen för kvadratens symmetrigrupp.

3. Visa att varje permutation kan skrivas som en produkt av transpositioner.

4. Visa att om LaTeX: f är en bijektiv homomorfi från G till H så är den inversa avbildningen LaTeX: f^{-1} från H till G också en homomorfi.

5. Läs på lite om kroppar (eng: fields), ringar (eng: rings) och vektorrum (eng: vector spaces). 

6. Läs på om tapetgrupper (wallpaper groups) på wikipedia, och bestäm vilka tapetgrupper som de två mönstrena (Alhambra och William Morris) från föreläsningen svarar mot. Ni får själva välja om ni vill ta hänsyn till mönstenas färgsättning eller inte.

7. Läs på om Niels Henrik Abel, Évariste Galois och Emmy Noether.

Vidare läsning för den intresserade:

Symmetry and the monster, av M. Ronan.

Why beauty is truth, av Ian Stewart.

Symmetry, av H. Weyl.

Creating symmetry, av F. Farris.

Emmys teorem, av Julia Ravanis.

Artikeln: From Friezes to Quasicrystals: A History of Symmetry Groups, av F. Bruckler och V. Stilinovic.

Återigen finns också mycket relevant att läsa i The Princeton companion of mathematics, av Gowers et al. och The road to reality av Roger Penrose.

Föreläsning 4: Paralleller

(Med krökning menas i uppgift 1 och 2 Gausskrökning.) 

1. Vi såg att man kan använda geodetiska trianglar för att uppskatta krökningen på en yta, men man kan också använda geodetiska cirklar. En geodetisk cirkel med centrum i p och radie r definieras som mängden av punkter på ytan med avstånd r till p, och dess omkrets betecknas C(p,r). Om nu r är ett litet positivt tal så kommer krökningen K(p) i p vara ungefär LaTeX: \frac{3(2\pi r-C(p,r))}{\pi r^3}. Välj en krökt yta i din omgivning och en punkt på denna. Uppskatta sedan krökningen i punkten genom att rita upp en (approximativ) geodetisk cirkel, uppskatta dess omkrets, och sedan använda ovanstående formel.

Om ovanstående känns för pilligt kan man titta på dessa teoretiska frågor istället. 1b) Låt Y vara ellipsoiden definierad av ekvationen LaTeX: x^2+4y^2+z^2=1. Vad är krökningen i punkten (0,0,1) (dvs där x=0, y=0, z=1)? 1c) Låt Y' vara hyperboloiden definierad av ekvationen LaTeX: x^2+y^2-z^2=1. Vad är krökningen i punkten (1,0,0)?

2. Låt Y och Y’ vara två ytor. En bijektion f från Y till Y’ sägs vara en isometri om för varje par av punkter p och p’ på Y vi har att avståndet mellan f(p) och f(p’) är samma som det mellan p och p’. Gauss Theorema Egregium säger att om f är en isometri mellan Y och Y’, då gäller för alla punkter p på Y att krökningen av Y i p är lika med krökningen av Y’ i f(p). Kan du förklara hur denna sats följer från formeln för vinkelsumman hos en geodetisk triangel som vi gick igenom på föreläsningen?

3. Ett a4-papper kan lätt böjas, medan ett halvt clementinskal inte kan böjas utan att det går sönder. Kan du förklara kopplingen mellan denna observation och Theorema Egregium?

4. Läs på lite om János Bolyai, Nicolai Lobachevsky, Carl Friedrich Gauss och Bernhard Riemann.

5. Enligt Einsteins speciella relativitetsteori går tiden långsammare om man rör sig fram och tillbaks. Säg att man under ett års effektiv tid skulle springa fram och tillbaks, fram och tillbaks osv mellan två punkter i ett rum. Ungefär hur mycket yngre hade man då blivit jämfört om man istället hade stått stilla? Dvs vilken storleksordning pratar vi om, sekunder, millisekunder…?

Vidare läsning för den intressade: 

The Feynman Lectures, 42: Curved space, av R. Feynman: https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_42.html

The Road to Reality, av R. Penrose (framförallt avsnitt 2.4-2.7 och 17.6-18.1)

Världens mått, av D. Kehlmann

Gauss - matematikernas konung, av T. Hall

En fruktansvärd grönska, av B. Labatut

Föreläsning 5: Deformationer och invarianter

1. Visa att dubbeltorusen (dvs den slutna ytan med två "tunnlar") har Eulerkaraktäristik -2, och att Kleinflaskan har Eulerkaraktäristik 0.

2. Betrakta de fyra polygonala ytorna definierade på bilderna ytor1.jpg och ytor2.jpg. Bestäm deras Eulerkaraktäristik och vilka som är orienterbara respektive icke orienterbara. Är några av ytorna homeomorfa?

3. Betrakta knutarna beskrivna här. Avgör vilka av dem (om någon) som har trefärgsegenskapen. Är några av knutarna samma?

4. Varje knutdiagram kan fås att representera oknuten genom att vid lämpligt valda korsningar låta övertråden istället gå under. Hur åstadkommer man detta för knutdiagrammen i föregående uppgift? (En konsekvens är att det inte finns några icke-triviala knutar i R4.)

5. När man gör ett Reidemeisterdrag av typ 2 på en del av ett trefärgat knutdiagram kan det hända att man går från tre till två färger lokalt (dvs i den aktuella delen av knutdiagrammet). Varför kan det inte bli så att upprepade Reidemeisterdrag av typ 2 reducerar antalet färger som används till bara en färg, och alltså ger upphov till en otillåten färgning?

6. Läs wikipedia-artiklarna om topologiska rum: https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_space och Sierpinskis rum: https://en.wikipedia.org/wiki/Sierpi%C5%84ski_space. 

7. Läs på om topologiska mångfalder: https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_manifold och Poincarés förmodan: https://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_conjecture.

Vidare läsning för den intresserade:

Euler’s gem, av D. Richeson.

A Mathematical Gift, I: The interplay between topology, functions, geometry, and algebra, av K. Ueno, K. Shiga och S. Morita.

The Poincaré Conjecture: In Search of the Shape of the Universe, av D. O’Shea.

The knot book: An elementary introduction to the mathematical theory of knots, av C. Adams.

Föreläsning 6: Harmoni

1. När två stora järnklot med temperatur 20 grader (Celsius) förbinds med en cylinderformad järnstång med initial temperatur 40 grader tar det 3 minuter för temperaturen i mitten av stången att nå temperaturen 30 grader. Om stången istället hade haft en initial temperatur som gått linjärt från 20 grader vid ändarna till 40 grader i mitten, ungefär hur lång tid hade det då tagit för temperaturen i mitten att nå 30 grader? Ni får lov att ignorera luftens avkylande effekt. (Om uppgiften känns för svår, hoppa över den.)

2. Läs på om Jean-Baptiste Joseph Fourier.

3. 1863 använde Lord Kelvin mätningar av jordens temperaturgradient (dvs hur snabbt temperaturen ökar) nära ytan (ca 15-30 graders ökning per kilometer neråt) och vanliga stenarters värmeledningsförmåga för att uppskatta jordens ålder. Han antog att jordens initiala temperatur varit ca 4000 grader Celsius och med hjälp av Fouriers värmeledningsekvation för ett homogent klot kom han då fram till att jorden borde vara någonstans mellan 25 och 400 miljoner år gammal. Den moderna uppskattningen av jordens ålder är ca 4,5 miljarder år.  Vad tror du orsakade felet i Lord Kelvins uppskattning?

4. Se på youtubefilmen https://www.youtube.com/watch?v=gBxZVF3s4cU från the Royal Instituiton om röntgenkristallografins historia och läs på om Lawrence Bragg samt historien bakom upptäckten om DNAs struktur.

5. Låt LaTeX: f_K vara funktionen som antar värdet 1 på kvadraten LaTeX: K:=\{(x,y): 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1\} medan den är 0 utanför. Låt LaTeX: f_D vara funktionen som antar värdet 1 på LaTeX: D:=\{(x,y): 0 \leq x+y \leq 1, 0 \leq x-y \leq 1\} och som är 0 utanför. Beräkna Radontransformen av dessa två funktioner. Om du inte kan ge ett uttryck för en hel transform går det också bra att ge värdet av transformen i några enstaka punkter. 

6. Läs på om Johann Radon. 

7. Läs listan på wikipedia över matematiska transformer: https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_transforms. Välj ut minst 3 stycken och läs på om dessa. (Noteras bör att de två transformer som jag själv introducerat saknas på listan!)

Vidare läsning för den intresserade: 

The Road to Reality: Kapitel 9, av R. Penrose.

Double helix, av J. Watson.

Jag kan också rekommendera två videos om Fourieranalys på 3Blue1Brown:

https://www.3blue1brown.com/lessons/fourier-series och https://www.3blue1brown.com/lessons/fourier-transforms

Föreläsning 7: Slump

1. Ett reellt tal x mellan 0 och 1 kan skrivas LaTeX: a_1/3+a_2/3^2+a_3/3^3+... där LaTeX: a_i\in\{0,1,2\}, dvs i bas 3 har vi att LaTeX: x=0,a_1a_2a_3…. Cantormängden C består av alla tal mellan 0 och 1 som i bas 3 saknar siffran 1. T ex ligger 0,02020202… i C medan 0,02010201... inte ligger i C. Om vi väljer ett tal mellan 0 och 1 slumpvist utifrån den likformiga sannolikhetsfördelningen på intervallet [0,1], vad tror du sannolikheten är att talet ligger i C? 

2. Jag föreslår att vi ska singla slant 1000 gånger, och om det det blir klave fler än 600 ggr ger jag dig 500 kr, annars får du betala mig 100 kr. Är det smart av dig att gå med på erbjudandet?

3. Om du börjar en slumpvandring i punkten LaTeX: 0\in \mathbb{Z}, låt p_1 beteckna sannolikheten att du någon gång under vandringen passerar punkten 1. Gissa vad p_1 är, till exempel genom att göra ett antal (analoga eller digitala) simuleringar. Gör samma sak i dimension 2 och 3, dvs gissa sannolikheten p_2 (resp. p_3) att en slumpvandring på LaTeX: \mathbb{Z}^2 (resp. LaTeX: \mathbb{Z}^3) som börjar i (0,0) (resp. (0,0,0)) någon gång under vandringen passerar punkten (1,0) (resp. (1,0,0)).

4. På föreläsningen pratade vi om Kolmogorovs axiom för sannolikheter i specialfallet slumptal. Mer allmänt startar man med en mängd LaTeX: \Omega av möjliga utfall (eller tillstånd) och tillskriver sannolikheter till mätbara delmängder LaTeX: A\subseteq \Omega som man kallar händelser. Läs wikipediaartikeln om detta: https://en.wikipedia.org/wiki/Probability_space.

5. Två händelser A och B sägs vara oberoende om LaTeX: P(A\cap B)=P(A)P(B). Förklara varför detta är en rimlig definition av oberoende?

6. Läs på om Blaise Pascal, Pierre-Simon Laplace, Adolphe Quetelet, Ludwig Boltzmann, Andrey Kolmogorov, och Norbert Wiener (som visade att Brownsk rörelse existerar matematiskt).

7. Detta är den viktigaste frågan. Vad har René Descartes, Sonja Kovalevskaja och Norbert Wiener gemensamt förutom att de alla tre var framstående matematiker?

Vidare läsning för den intresserade:

What is random? av E. Beltrami

Chance and chaos, av D. Ruelle

The lady tasting tea, av D. Salsburg

Jag kan också rekommendera följande video om centrala gränsvärdessatsen:

https://www.3blue1brown.com/lessons/clt

Föreläsning 8: Struktur

1. Läs på om matematikerna Hermann Grassmann, John von Neumannoch och (pseudonymen) Nicolas Bourbaki.

2. Läs den tvådelade artikeln Comme appelé du néant om Alexandre Grothendieck:

https://www.ams.org/journals/notices/200409/fea-grothendieck-part1.pdf

http://www.ams.org/notices/200410/fea-grothendieck-part2.pdf

3. Kolla på Google maps vilka av broarna över Pregel som finns kvar och avgör om det nu är möjligt att genomföra en Eulerpromenad.

4. Läs wikipediasidan om Googles PageRank-algoritm https://en.wikipedia.org/wiki/PageRank. Betrakta sedan den riktade grafen som jag ritade upp på föreläsningen i samband med slumpvandringar på grafer. Gissa i vilken ordning Googles PageRank (med säg d=0.85) skulle ranka de olika noderna. Simulera en 100 stegs slumpvandring på grafen, redovisa antalet gånger du besökt varje given nod, och jämför med din initiala gissning.

5. Läs wikipediasidan om den universella Radografen: https://en.wikipedia.org/wiki/Rado_graph.

6. På föreläsningen påstod jag att om (x,y) och (x’,y’) är vektorer i planet och LaTeX: \theta är vinkeln dem emellan så är LaTeX: xx’+yy’=(\sqrt{x^2+y^2})(\sqrt{(x’)^2+(y’)^2})\cos(\theta). Visa detta genom skriva (x,y) som LaTeX: z=x+iy=re^{i\phi} och (x’,y’) som LaTeX: z’=x’+iy’=r’e^{i\phi’} och sen analysera LaTeX: z\bar{z'}=(x+iy)(x'-iy').

7. Se 3Blue1Browns video: Large Language Models explained briefly på https://www.3blue1brown.com/.

8. Läs på lite om kvantdatorer.

Vidare läsning för den intresserade: 

Princeton Companion to Mathematics, av Gowers et al.

Bourbaki: a secret society of mathematicians, av M. Mashaal

Google’s PageRank and beyond: the science of search engine rankings, av A. Langville och C. Meyer

Computing with quantum cats: from Colossus to qubits, av J. Gribbin

Jag kan också rekommendera 3Blue1Browns övriga videos om neurala nätverk.

Tillbaka till toppen

 

Kurssammanfattning:

Kurssammanfattning
Datum Information Sista inlämningsdatum