På denna sida finns programmet för kursen: föreläsningar, räkneövningar, datorlaborationer och duggor. Övriga uppgifter, såsom t.ex. kursmål, lärare, kurslitteratur, examination och gamla tentor, finns i ett separat kurs-PM.

Program

Föreläsningar är på måndagar och onsdagar kl 10.00-11.45, och övningar är på tisdagar kl 13.15-15.00 och fredagar 10.00-11.45. För innehåll, se föreläsnings- och övningsschemat nedan. Alla aktiviteter är på distans i Zoom (se anslag längst upp för länkar). Extra aktiviteter är tre skriftliga duggor och två labbar, se nedan för tider.

Föreläsningar

På fyra av föreläsningarna nedan står det "Flipped classroom". Det betyder att ni förväntas titta på filmer innan föreläsningen, som sedan istället ägnas åt olika aktiva övningar.

Jag lägger ut föreläsningsanteckningar inför varje föreläsning (utom de som är flipped classroom), så att ni slipper att själva anteckna allt jag visar.

Dag	Avsnitt	Anteckningar	Innehåll
18/1	1.2-1.4	Föreläsning 1	Rummet R^n. Avstånd. Triangelolikheten. Cauchy-Schwartz olikhet. Öppna/slutna mängder. Begränsade mängder. Analytisk beskrivning av mängder. Funktioner av flera variabler.
20/1	1.4-1.5	Föreläsning 2	Forts funktioner av flera variabler. Vektorvärda funktioner. Kurvor och ytor. Koordinatbyten. Gränsvärden.
25/1	1.6-2.2	Föreläsning 3	Kontinuitet. Partiella derivator. Differentierbarhet. Flipped classroom - titta på filmer här!
27/1	2.3-2.4	Föreläsning 4	Tangentplan. Kedjeregeln. Gradient. Riktningsderivata.
1/2	2.5-2.7	Föreläsning 5	Högre ordningens partiella derivator. Taylorutveckling och lokalt beteende hos en funktion. Kriterier för lokala extremvärden. Differentialer.
3/2	3.1-3.3	Föreläsning 6	Tangenter till parametriserade kurvor. Normaler och tangentplan till parametriserade ytor. Funktionalmatriser (totala derivatan) och linjär approximation. Funktionaldeterminanter (Jacobianer). Flipped classroom! - titta på filmer här!
8/2	3.4, 4.1-4.2	Föreläsning 7	Implicita och inversa funktionssatserna. Hur man i samband ser att en variabel är en funktion av övriga. Optimering på kompakter. Optimering på icke-kompakter.
10/2	4.3, 6.1-6.3	Föreläsning 8	Optimering med bivillkor. Dubbelintegraler och deras Riemannsummor.
15/2	6.3-6.5	Föreläsning 9	Forts dubbelintegraler. Variabelsubstitution.
17/2	6.6-7.2	Föreläsning 10	Generaliserade dubbelintegraler. Trippel- och multipelintegraler. Flipped classroom - titta på filmer här!
22/2	8.1-8.2, 8.4	Föreläsning 11	Volymberäkningar och area av buktiga ytor, ytintegraler. Masscentrum och integralen som medelvärde.
24/2	9.1-9.3		Kurvintegraler i planet. Greens formel. Flipped classroom - titta på filmer här!
1/3	9.4-10.1	Föreläsning 13	Potentialer och exakta differentialformer (konservativa vektorfält). Kurv- och ytintgraler.
3/3	10.2-10.3	Föreläsning 14	Divergens och rotation av vektorfält. Gauss och Stokes satser.
8/3		Föreläsning 15	Repetition/reserv
10/3		Föreläsning 16	Gamla tentamensproblem.

 

Tillbaka till toppen

Rekommenderade övningsuppgifter

På övningarna ska Coën ha alla studenter i MMGF20 fram till och med Leonor Palazzo (alfabetiskt enligt efternamn). Elin ska ha resten av MMGF20-studenterna och dessutom alla lärarstudenter i LGMA50.

Dag	Uppgifter
19/1	1.1bcd, 1.2abd, 1.3, 1.4, 1.6–1.8, 1.9ab, 1.10, 1.11, 1.12, 1.14c, 1.16abc På lektionen: quiz om kapitel 1.3, och (i Elins grupp) uppg 1.10 M6 och 1.16b gemensamt.
22/1	1.18, 1.20, 1.21, 1.23, 1.24a–d, 1.25ab, 1.27abc På Elins lektion: 1) ta fram en ekvation till kurvan (t-1,t^2+1), 2) parametrisering av ellips, 3) uppg 1.24f
26/1	1.29bcd, 2.1, 2.2a, 2.4, 2.5, 2.6a, 2.7, 2.8ab På Elins lektion: 1) 2.6b, 2) visa att f(x,y) = 1+x+2x(y-1)^2 är differentierbar i (2,1) mha definitionen.
29/1	2.11, 2.12, 2.13, 2.14, 2.15, 2.18, 2.20, 2.21, 2.28ab, 2.30, 2.40, 2.42c, 2.43 På Elins lektion: 1) quiz om tangentplan, 2) uppg 2.21.
2/2	2.50, 2.51, 2.56, 2.60, 2.62, 2.63, 2.64, 2.65a-d, 2.66, 2.68d, 2.70, 2.71bcd, 2.72a, 2.73 På Elins lektion: 1) quiz om kvadratiska former, 2) Hitta alla lokala max och min för x^3+y^3-3xy. 3) Avgöra karaktären på h^2+2k^2+l^2+4hk+2hl-kl.
5/2	3.1, 3.2ab, 3.3, 3.6, 3.8, 3.9abc, 3.10abc, 3.12, 3.14, 3.16. På Elins lektion: 1) 2.73, 2) Låt g(x,y) = xy, och f(t) = (t, t^2). Ta fram funktionalmatrisen till funktionen f(g(x,y)) med kedjeregeln.
9/2	3.24, 3.30, 4.1, 4.2, 4.7, 4.10, 4.13, 4.14, 4.16, 4.18, 4.19. På Elins lektion: 3.28b och 4.3.
10/2	OBS: skriftlig dugga!
12/2	4.23, 4.24 (obs, klurig uppgift), 4.28, 4.33, 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.6 På Elins lektion: ingen särskild uppgift (frågestund).
16/2	6.10, 6.11, 6.13, 6.15, 6.18, 6.19, 6.20, 6.22, 6.26 På Elins lektion: quiz om integrationsgränser.
19/2	6.33, 6.34, 6.37, 6.38, 7.1, 7.2, 7.4, 7.11, 7.16. På Elins lektion: exempel på byte till rymdpolära koordinater i trippelintegral.
23/2	8.1, 8.2, 8.4, 8.11, 8.14, 8.15, 8.20, 8.28, 8.31.  På Elins lektion: beräkna ytan som ligger på en sfär med radie 1, där z>0, 0<x<1, 0<y<1.
26/2	9.1, 9.2, 9.4, 9.5, 9.7, 9.8, 9.10, 9.11, 9.18, 9.20, 9.21, 9.23.  På Elins lektion: uppg 9.17.
1/3	OBS: skriftlig dugga!
2/3	9.29, 9.33, 9.35, 9.36, 9.38, 10.1, 10.4, 10.7, 10.8, 10.9, 10.11. På Elins lektion: ingen särskild uppgift (frågestund).
5/3	10.16, 10.19, 10.20, 10.26, 10.52, 10.54, 10.57, 10.62
9/3	Repetition OBS: skriftlig dugga!
12/3	Repetition

 

Vecka	Coëns Exempel Videos
3	Mängder i R^n, Nivåkurvor, Gränsvärden
4	Partiella derivator o tangentplan, Kedjeregeln, Gradient o Riktningsderivata
5	Taylorserie o Kvadratiska Former, Extremvärden, Parametriserade Ytor o Kurvor
6	Implicita Funktioner, Optimering (Icke) Kompakt , Optimering Bivillkor
7	Dubbelintegral o Variabelbyte, Generaliserad Dubbelintegral
8	Volymberäkning, Areaberäkning, Kurvintegral o Greens Formel
9	Divergenssatsen, Stoke's Sats

Tillbaka till toppen

Datorlaborationer

I kursen ingår två obligatoriska datorlabbar (obs, inte inlagda i schemat ännu). Tanken med labbarna är inte att programmera eller göra beräkningar. Vi gör labbarna i gratisprogrammet Geogebra, och fokus är på att använda programmet för att hjälpa oss att bättre förstå matematiska begrepp. Du behöver inte kunna Geogebra sedan innan.

För MMGF20: Datorlabbarna är ett nytt obligatoriskt moment i kursen som infördes förra året. Programledningen tyckte att det var en bra idé att ni också fick göra de labbar som lärarstudenterna brukar göra. Du som gick en tidigare version av kursen än 2020 och nu är omregistrerad behöver inte göra labbarna.

För LGMA50: Ni har två labbar i denna delkursen, och två labbar i den andra. Tillsammans bildar de ett eget Ladok-moment som ni måste få godkänt på för att kursen ska bli klar. Det lättaste är om ni installerar Geogebra på datorn, det är gratis (eller sitt i en labbsal där programmet också finns.) 

Laboration 1 handlar om att förstå parametrisering av kurvor och ytor. Läs om de kommandon ni behöver här.

Laboration 2 handlar om att förstå vektorfält och hur olika kurvor ger positivt, negativt eller inget arbete. Jag kommer att få igenom lite om labben i förväg så att ni fattar hur verktygen funkar.

Labb-tider för de som är i Coëns övningsgrupp:
1/2 kl 8.00-9.45 
4/3 kl 13.15-15.15

Labb-tider för de som är i Elins övningsgrupp:
29/1 kl 8.00-9.45
5/3 kl 8.00-9.45 

Förbered er genom att börja göra labben i förväg - gör så långt ni kan själva tills ni stöter på problem och behöver fråga, vilket ni sedan kan göra under labbtillfället (eller på en övning). Anledningen är att alla ska hinna redovisa. Arbeta i grupper om tre och redovisa muntligt vid labbtillfället. 

Tillbaka till toppen

Duggor

Förra året ändrades bonussystemet för kursen. Tidigare har det varit tre elektroniska duggor, nu ska vi istället ha tre skriftliga duggor på en timme vardera (och en extra kvart för att ladda upp). Fokus på duggorna kommer att vara på begreppsförståelse snarare än långa beräkningar. Varje dugga är på fem uppgifter och totalt tio poäng. Alla duggapoäng summeras, delas med tio och avrundas uppåt till närmsta halva poäng. Dvs, maximalt kan de tre duggorna ge tre poäng till tentan.

De är inte obligatoriska, och de går inte att ta igen om du missar en. Ni gör duggan hemma och scannar/fotograferar papperet och laddar upp. Duggorna ligger som uppgifter i Canvas, läs mer där.

10/2 kl 8.30-9.45: kapitel 1-3. Dugga 1 med lösningar.
1/3 kl 8.30-9.45: kapitel 4, 6, 8. Dugga 2 med lösningar.
9/3 kl 10.30-11.45: kapitel 9 och 10. Dugga 3 med lösningar.

Här är föregående duggor, obs dock att de är från innan pandemin och därför designade för att lösas utan tillgång till kurslitteratur och internet, därför kan årets duggor se lite annorlunda ut.

Här är dugga 1 2020 med lösning. (I lösningen av sista uppgiften ska det stå h^2/2 på sista raden, sorry!)

Här är en övningsdugga inför dugga 2, med lösningar. (Obs: det är slarvfel i facit i övningsduggans uppgift 4, ska bli -1/96.) Samt dugga 2 2020 med lösning.

Här är en övningsdugga inför dugga 3, med lösningar, samt dugga 3 2020 med lösning.

Tillbaka till toppen

Sammanfattning av kursmoment

Kursens lärandemål finns angivna i kursplanen. Här gör jag en mer detaljerad sammanfattning av vad som ingår.

Följande avsnitt i boken ingår: 1.2-1.6, 2.1-2.7 (utom felanalys i 2.2, och "kompletterande teori" sist i 2.6), 3.1-3.4, 4.1-4.3, 6.1-6.4, 6.6 (men inte så stor tyngd på 6.3), 7.1-7.2 (men inte så stor tyngd på 7.2), 8.1-8.2, 8.4, 9.1-9.4, 10.1-10.3.

Här är en sammanfattning av vad ni ska kunna):

Kapitel 1:
- rita upp mängder i $\mathbb{R}^n$ från deras analytiska beskrivning, och tvärtom
- växla mellan att se kurvor som nivåkurvor och parametriserade kurvor (och grafer om det går)
- växla mellan att se ytor som nivåytor och parametriserade ytor (och grafer om det går)
- rita upp nivåkurvor till en yta som ett verktyg för att förstå ytans utseende
- räkna ut gränsvärden, om de existerar, genom att använda 1) standardgränsvärden från envariabel, 2) instängningsregeln och 3) koordinatbyten
- visa att gränsvärden inte existerar genom att gå i gräns längs olika vägar
- avgöra om en funktion är kontinuerlig

Kapitel 2:
- derivera funktioner partiellt
- avgöra om funktioner är differentierbara eller inte
- räkna ut tangentplanet till en yta
- använda kedjeregeln i flera variabler
- räkna ut gradienter och riktningsderivator
- använda gradientens geometriska kopplingar till 1) nivåkurvor/nivåytor och 2) den riktning i vilken en funktion växer mest
- beräkna och använda partiella derivator av högre ordningar
- lösa vissa partiella differentialekvationer genom att reducera dem till envariabelfallet med hjälp av ett variabelbyte
- göra Taylorutvecklingar av andra ordningen av funktioner av flera variabler
- klassificera kvadratiska former
- hitta lokala extrempunkter till funktioner av flera variabler
- veta vad differentialer är och kunna använda dem

Kapitel 3:
- beräkna tangentvektor och tangentlinje till parametriserade kurvor
- beräkna tangentplan till parametriserade ytor
- beräkna funktionalmatriser och funktionaldeterminanter till vektorvärda funktioner
- se funktionaldeterminanter som linjäriseringar och funktionaldeterminanter som lokal areaförstoring
- använda kedjeregeln formulerad med hjälp av funktionalmatriser
- använda sambandet $\det((f^{-1})') = 1/\det(f')$
- använda implicita funktionssatsen för att se när en nivåkurva/nivåyta kan skrivas som en graf med avseende på olika variabler
- använda implicit derivering
- veta vad differentialer är och hur de hänger ihop med derivator

Kapitel 4:
- optimera på kompakta områden
- optimera på icke-kompakta områden
- optimera funktioner med ett bivillkor med hjälp av Lagranges multiplikatormetod

Kapitel 6:
- integrera dubbelintegraler genom att se dem som upprepade enkelintegraler
- byta variabel i dubbelintegraler
- räkna ut generaliserade dubbelintegraler med positiv integrand genom att skriva dem som upprepade (generaliserade) enkelintegraler
- avgöra genom uppskattningar om generaliserade dubbelintegraler med svårare integrand är konvergenta eller divergenta

Kapitel 7:
- räkna ut trippelintegraler
- byta variabel i trippelintegraler

Kapitel 8:
- räkna ut volymen av kroppar i $\mathbb{R}^3$
- räkna ut arean av ytor i $\mathbb{R}^3$
- räkna ut masscentrum av en kropp

Kapitel 9:
- beräkna arbetet som uträttas av ett vektorfält när en partikel förflyttas längs en kurva
- använda Greens formel
- beräkna flödet av ett vektorfält ut från ett område i planet
- avgöra om ett vektorfält är konservativt på ett område, och ta fram dess potential
- räkna ut kurvintegralen över ett konservativt vektorfält med hjälp av potentialen (sats 9.2)

Kapitel 10:
- räkna ut flödet av ett vektorfält ut genom en yta
- använda Gauss sats
- använda Stokes sats

Tillbaka till toppen