MMGF20/LGMA50 V23 Flervariabelanalys

På denna sida finns programmet för kursen: föreläsningar, räkneövningar, datorlaborationer och duggor. Övriga uppgifter, såsom t.ex. kursmål, lärare, kurslitteratur, examination och gamla tentor, finns i ett separat kurs-PM.

Om du inte vaccinerat dig mot covid än rekommenderar vi starkt att du gör det om du kan, och tar förstärkningsdoser om du erbjuds det. Om du har symtom som kan vara covid är det viktigt att du stannar hemma, även med ett negativt snabbtest. Om du missar föreläsningar finns det inspelade sådana på kurshemsidan från 2022.

Program

Se schema här. Föreläsningar är på måndagar och onsdagar 10.00-11.45, och övningar är på tisdagar kl 13.15-15.00 och fredagar 10.00-11.45. Övningsgrupp 1 ska gå till den övningssal som står överst i Timeedit, och övningsgrupp 2 till den som står underst. Du ser din grupptillhörighet i menyn till vänster i Canvas.

Extra aktiviteter är tre valfria skriftliga duggor och två obligatoriska labbar, se nedan.

Föreläsningar

På fyra av föreläsningarna nedan står det "Flipped classroom". Det betyder att ni förväntas titta på filmer innan föreläsningen, som sedan istället ägnas åt olika aktiva övningar.

Dag	Avsnitt	PDF + film	Innehåll
16/1	1.1-1.4 (översiktligt), 2.1-2.3	Föreläsning 1: PDF	Grundläggande begrepp och verktyg. Öppna/slutna mängder. Begränsade mängder. Analytisk geometri. Polära koordinater.
18/1	3.1-3.3, 3.4 (delvis)	Föreläsning 2: PDF	Funktioner av flera variabler. Vektorvärda funktioner. Kurvor och ytor. Koordinatbyten. Gränsvärden.
23/1	3.4 (delvis), 4.1-4.2	Föreläsning 3: PDF	Kontinuitet. Partiella derivator. Differentierbarhet. Flipped classroom - titta på filmer här!
25/1	4.1 (delvis), 4.3-4.4, 4.7	Föreläsning 4: PDF	Tangentplan. Kedjeregeln. Gradient. Riktningsderivata. Partiella differentialekvationer (behandlas främst på övningen efter).
30/1	4.5-4.6, 5.1	Föreläsning 5: PDF	Differentialer. Högre ordningens partiella derivator. Taylorutveckling och lokalt beteende hos en funktion. Kriterier för lokala extremvärden.
1/2	5.3-5.4	Föreläsning 6: PDF	Optimering på kompakter. Optimering på icke-kompakter. Optimering med bivillkor.
6/2	6.1-6.3	Föreläsning 7: PDF Sammanfattning tangentplan	Tangenter till parametriserade kurvor. Normaler och tangentplan till parametriserade ytor. Funktionalmatriser (totala derivatan) och linjär approximation. Funktionaldeterminanter (Jacobianer). Flipped classroom! - titta på filmer här!
8/2	6.4, 7.1	Föreläsning 8: PDF	Implicita och inversa funktionssatserna med tillämpningar. Dubbelintegraler och deras Riemannsummor.
13/2	7.2-7.3	Föreläsning 9: PDF	Forts dubbelintegraler. Variabelsubstitution.
15/2	7.4, 7.6	Föreläsning 10: PDF	Generaliserade dubbelintegraler. Trippel- och multipelintegraler. Flipped classroom - titta på filmer här!
20/2	8.1-8.4	Föreläsning 11: PDF	Volymberäkningar, massa och tyngdpunkt. Kurvintegraler. Ytintegraler.
22/2	9.1-9.2, 9.4	Föreläsning 12: PDF	Kurvintegraler i planet. Greens formel. Flöde genom kurva. Flipped classroom - titta på filmer här!
27/2	9.3, 10.1	Föreläsning 13: PDF	Potentialer och exakta differentialformer (konservativa vektorfält). Kurv- och ytintgraler i rummet.
1/3	9.5, 10.2-10.3	Föreläsning 14: PDF	Rotation och divergens av vektorfält. Stokes och Gauss satser.
6/3	Repetition		Repetition/reserv
8/3	Repetition		Gamla tentamensproblem.

 

Tillbaka till toppen

Rekommenderade övningsuppgifter

Dag	Uppgifter
17/1	2.1bcd, 2.2abd, 2.3, 2.4, 2.6–2.8, 2.9ab, 2.11, 2.14, 3.1
20/1	3.2, 3.4a, 3.7abc, 3.9, 3.12acdg, 3.13ac, 3.14bd, 3.15bd, 3.16, 3.17abcdh, 3.18ab, 3.20abc
24/1	3.22bcd, 4.1, 4.2a, 4.4, 4.7, 4.45a, 4.46, 4.38ab
27/1	4.5, 4.6, 4.8, 4.9, 4.10, 4.14, 4.16ab, 4.18, 4.28, 4.30c, 4.31, 4.47, 4.48, 4.49.
31/1	4.39bcd, 4.40a, 4.41, 4.54, 4.55, 4.60, 5.1a, 5.2a, 5.4, 5.5, 5.6a-d, 5.7, 5.10d, 5.12
3/2	5.15, 5.16, 5.21, 5.24, 5.27, 5.28, 5.30, 5.32, 5.33, 5.37, 5.39, 5.42, 5.47
7/2	6.1, 6.2ab, 6.3, 6.6, 6.8, 6.9abc, 6.10abc, 6.11, 6.13, 6.15.
10/2	6.23, 6.27, 6.29, 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.6
14/2	7.10, 7.11, 7.13, 7.15, 7.18, 7.19, 7.20, 7.22, 7.26
17/2	7.30, 7.31, 7.34, 7.39, 7.42, 7.43, 7.45, 7.50.
21/2	8.1, 8.2, 8.4, 8.11, 8.15, 8.18, 8.28, 8.29, 8.34, 8.31. Extrauppgifter om kurvlängd.
24/2	9.1, 9.2, 9.4, 9.5, 9.7, 9.8, 9.10, 9.11, 9.18, 9.20, 9.21, 9.23.
28/2	9.29, 9.33, 9.35, 9.36, 9.38, 10.1, 10.4, 10.7, 10.9, 10.15, 10.16, 10.18.
3/3	10.23, 10.25, 10.28, 10.31, 10.34, 10.35, 10.41.
7/3	Repetition
10/3	Repetition

Författaren till kurslitteraturen har korta filmer med uppgiftslösning som ni kan titta på om ni vill.

Tillbaka till toppen

Datorlaborationer

I kursen ingår två obligatoriska datorlabbar (obs, inte inlagda i schemat ännu - datum kommer snart). Tanken med labbarna är inte att programmera eller göra beräkningar. Vi gör labbarna i gratisprogrammet Geogebra, och fokus är på att använda programmet för att hjälpa oss att bättre förstå matematiska begrepp. Du behöver inte kunna Geogebra sedan innan. Om du är omregistrerad på kursen och har gjort labbarna tidigare behöver du inte göra om dem.

För MMGF20: Du som gick en tidigare version av kursen än 2020 och nu är omregistrerad behöver inte göra labbarna alls.

För LGMA50: Ni har två labbar i denna delkursen, och två labbar i den andra. Tillsammans bildar de ett eget Ladok-moment som ni måste få godkänt på för att kursen ska bli klar.

Laboration 1 handlar om att förstå parametrisering av kurvor och ytor. Läs om de kommandon ni behöver här. (sök på Curve, Tangent och Surface). 

Grupperna är samma som lektionsgrupperna.

Grupp 1: 31/1 15.15-17.00

Grupp 2: 1/2 15.15-17.00

Laboration 2 handlar om att förstå vektorfält och hur olika kurvor ger positivt, negativt eller inget arbete. Här är en liten film som förklarar verktygen i labben.

Grupp 1: 8/3 15.15-17.00

Grupp 2: 7/3 15.15-17.00

Förbered er genom att börja göra labben i förväg - gör så långt ni kan själva tills ni stöter på problem och behöver fråga, vilket ni sedan kan göra under labbtillfället (eller på en övning). Anledningen är att alla ska hinna redovisa. Arbeta i grupper om två eller tre och redovisa muntligt vid labbtillfället.

Tillbaka till toppen

Duggor

Fokus på de skriftliga duggorna är begreppsförståelse snarare än långa beräkningar. Varje dugga har fyra uppgifter och totalt åtta poäng. Alla duggapoäng summeras, delas med åtta och avrundas uppåt till närmsta halva poäng. Maximalt kan de tre duggorna alltså ge tre poäng till tentan. Är du omregistrerad på kursen kan du göra duggorna igen för att få bonus till tentan.

Duggorna är inte obligatoriska, och de går inte att ta igen om du missar en.

Dugga 1 med lösningar: 10/2 8.45-9.45, på kapitel 2-4.
Dugga 2 med lösningar: 22/2 8.45-9.45, på kapitel 5-7.
Dugga 3 med lösningar: 8/3 13.15-14.15, kapitel 8-10.

Duggor från ett tidigare år:

Dugga 1 med lösningar (Obs, denna har fem uppgifter, men er kommer att ha fyra. Skippa uppgift 4, den hör till kapitel 6 för er.)
Dugga 2 med lösningar.
Dugga 3 med lösningar.

Tillbaka till toppen

Sammanfattning av kursmoment

Kursens lärandemål finns angivna i kursplanen, men här är en mer detaljerad sammanfattning av vad som ingår. Allt material i boken ingår utom avsnitt 4.8, 7.5, och 7.7.

Du ska kunna bevisa följande satser: 4.1, 4.2, 4.5, 4.6, 9.3, 9.4, 9.6.

Du ska också kunna definiera följande begrepp: nivåkurva/nivåyta, gränsvärde, kontinuitet, partiell derivata, riktningsderivata, differentierbarhet, gradient, differential, funktionalmatris, funktionaldeterminant, lokalt minimum/maximum, potential och potentialfält/konservativt fält. 

Dessa typer av problem ska ni kunna lösa efter kursen:

Kapitel 2:
- rita upp mängder i $\mathbb{R}^n$ och ${ℝ}^3$ från deras analytiska beskrivning, och tvärtom

Kapitel 3:
- rita upp nivåkurvor till en yta som ett verktyg för att förstå ytans utseende
- växla mellan att se kurvor som nivåkurvor och parametriserade kurvor (och grafer om det går)
- växla mellan att se ytor som nivåytor och parametriserade ytor (och grafer om det går)
- räkna ut gränsvärden, om de existerar, genom att använda 1) standardgränsvärden från envariabel, 2) instängningsregeln och 3) koordinatbyten
- visa att gränsvärden inte existerar genom att gå i gräns längs olika vägar
- avgöra om en funktion är kontinuerlig

Kapitel 4:
- derivera funktioner partiellt
- avgöra om funktioner är differentierbara eller inte
- räkna ut tangentplanet till en yta
- använda kedjeregeln i flera variabler
- räkna ut gradienter och riktningsderivator
- använda gradientens geometriska kopplingar till 1) nivåkurvor/nivåytor och 2) den riktning i vilken en funktion växer mest
- veta vad differentialer är och hur de hänger ihop med derivator
- beräkna och använda partiella derivator av högre ordningar
- lösa vissa partiella differentialekvationer genom att reducera dem till envariabelfallet med hjälp av ett variabelbyte

Kapitel 5:
- göra Taylorutvecklingar av andra ordningen av funktioner av flera variabler
- klassificera kvadratiska former
- hitta lokala extrempunkter till funktioner av flera variabler
- optimera på kompakta områden
- optimera på icke-kompakta områden
- optimera funktioner med ett bivillkor med hjälp av Lagranges multiplikatormetod

Kapitel 6:
- beräkna tangentvektor och tangentlinje till parametriserade kurvor
- beräkna tangentplan till parametriserade ytor
- beräkna funktionalmatriser och funktionaldeterminanter till vektorvärda funktioner
- se funktionaldeterminanter som linjäriseringar och funktionaldeterminanter som lokal areaförstoring
- använda kedjeregeln formulerad med hjälp av funktionalmatriser
- använda sambandet $\det((f^{-1})') = 1/\det(f')$
- använda implicita funktionssatsen för att se när en nivåkurva/nivåyta kan skrivas som en graf med avseende på olika variabler
- använda implicit derivering

Kapitel 7:
- integrera dubbelintegraler genom att se dem som upprepade enkelintegraler
- byta variabel i dubbelintegraler
- räkna ut generaliserade dubbelintegraler med positiv integrand genom att skriva dem som upprepade (generaliserade) enkelintegraler
- avgöra genom uppskattningar om generaliserade dubbelintegraler med svårare integrand är konvergenta eller divergenta
- räkna ut trippelintegraler
- byta variabel i trippelintegraler

Kapitel 8:
- räkna ut volymen av kroppar i ${ℝ}^3$
- räkna ut längden av kurvor i ${ℝ}^2$ och ${ℝ}^3$
- räkna ut arean av ytor i ${ℝ}^3$
- räkna ut masscentrum av en kropp

Kapitel 9:
- beräkna arbetet som uträttas av ett vektorfält när en partikel förflyttas längs en kurva
- använda Greens formel
- beräkna flödet av ett vektorfält ut från ett område i planet
- avgöra om ett vektorfält är konservativt på ett område, och ta fram dess potential
- räkna ut kurvintegralen över ett konservativt vektorfält med hjälp av potentialen (sats 9.3)

Kapitel 10:
- räkna ut flödet av ett vektorfält ut genom en yta
- använda Gauss sats
- använda Stokes sats

Tillbaka till toppen