Kursöversikt

Hoppa fram till i dag

 

På denna sida finns programmet för kursen: föreläsningar, räkneövningar och dugga/quiz, och information om tentan. Övriga informationer och uppgifter, såsom t.ex. kursmål, teorikrav, lärare, kurslitteratur och examination, kursrepresentanter, finns i ett separat kurs-PM. 

Föreläsningar av Genkai och Lektioner av Victor.

      

Program

  • Tid/Schema: Kursens schema finns i TimeEdit.
  • Lin. Alg. 1: För att lyckas med Linjär Algebra II måste man veta alla viktiga begrepp och resultat från Lin. Alg I.  (En kort sammanfattning av Lin Alg I finns i Kap 0 i föreläsningsanteckningar nedan.)

  • Tidigare kurslitteraturer för Lin. Alg. I:

    [DL] David Lay, Linear Algebra and tis applications

    för Lin. Alg I, MMG.  Det rekommenderas att alla studenter, fysik-elever,  matte-elever, diskuterar och hjälper varandra, och att  göra  många (!)  övningar.  

    (OBS! Från och med 2022 erbjuds lärarstudenter en annan mindre teoretisk kurs

    än LGMA66,  LGMA67 som innehåller också programmering. Men lärarstudenter är välkommna att läsa LGMA66.)

     

 

 

 

P1. Föreläsningar (planering, viktiga begrepp/teorier)

Kursmaterial/litteratur, Lin Alg. II:  Vi kommer att använder överhuvudtaget

      [CZ] Hasse Carlsson och Genkai Zhang,  Föreläsningsanteckningar, pdf-filen här, 

med  rättelser/lista av felskrivningar   (tack för anmärkningar).

Alla feedback/kritik om anteckningarna välkomna.

 

I de nya anteckningarna finns nu mer exempel, fulständiga lösningar, förslag till svar, ledningar till vissa uppgifter.

 

Följande avsnitt ingår EJ i kursen:

  • Kap. 1.6 (Oändl. dim. vektorrum), 
  • Kap. 3.3-3.4 (Alternativt bevis för existens av egenvektorrum i komplex vektorrum, invariant delrum i reella vektorrum),
  • Kap. 4.4-4.6 (Bevis för räkneregler för e^A och ekv av högre ordning), 
  • del av Kap. 7.4 (vi skall ge en kort introduktion till normal operatorer), 7.5-7.6 (Schur sats och andra faktoriseringar),
  • del av Kap 8.4 (vi skall förklara C-H sats med exempel)

 

Relevanta kurslitteraturer (för er som vill veta mer): 

[A] S. Axler, Linear Algebra Done Right (LADR), Springer. Här är länken till Chalmbers biblioteks elektronisk version:

https://eds.s.ebscohost.com/eds/detail/detail?vid=4&sid=63b54ea6-7209-49a6-8ec9-dddda02b67c4%40redis&bdata=JnNpdGU9ZWRzLWxpdmUmc2NvcGU9c2l0ZQ%3d%3d#AN=clec.SPRINGERLINK9783319110806&db=cat07472a

(En del studenter tycker om den här boken, speciellt uppgifterna dår. Jag kommer

att rekommendera uppgifterna här också.)

S. Treil, Linear Algebra Done Wrong, Springer. 

 

Vecka Innehåll Avsnitt Viktiga begrepp. Sammanfattning
35

Reptition/Sammanfattning Lin. Alg. I.

Översikt Lin. Alg II.

Vektorrum, delrum, linjärt oberoende, bas, dimension.

 

Kap. 0. Översikt.

Kap. 1.1-1.3, Del av 1.4.

 

Begrepp: Linjärt oberoende vektorer.

Räkneregler/Satser: lagar i vektorrum.
36

Linjärt oberoende. Bas, dimension. Linjära avbildningar och deras matriser

Kap. 1.4, (kort om) Kap. 1.5.

Kap. 2.1-2.3. 

 

 Begrepp/teori: Baser och dimensioner och samband mellan dessa; linjära avbildningar, exempel och  egenskaper (injektiv/surjektiv/bijektiv/isomorfi),

delrum Ker T, Ran T.

 

 
37 Basbyten och Rangsatsen

Kap. 2.3-2.4.

(Anmärkn om notation LaTeX: [T]_{\mathcal C \mathcal B}:  Vi betecknar basbytesmatrisen för LaTeX: T: (V, \mathcal B) \to (W, \mathcal C) från LaTeX: \mathcal B   tll LaTeX: \mathcal C  som LaTeX: [T]_{\mathcal C \mathcal B} , dvs det är

LaTeX: [T]_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B} , som är  kompatibel med

LaTeX: [T\bf v]_{\mathcal C}=[T]_{\mathcal C\leftarrow \mathcal B} [\bf v]_{\mathcal B}=[T]_{\mathcal C \mathcal B} [\bf v]_{\mathcal B}.

I vissa böcker betecknas den som LaTeX: [T]_{\mathcal B \mathcal C}.)

 

 

 Begrepp: rank T som är ett av de viktigaste begreppen  i Lin Alg. 

(OBS! Ran T är ett vektorrum och rank T är ett heltal).

Beräkningsmethoder/regler:

T's matriser m.a.p baser och basbytesmatriser.

Teori: Determinant. Rangsatsen.
38

Egenvektorer, egenvarden och diagonalisering.

 

 

 

Kap. 3.1-3.2. (Kap. 3.3-3.4 ingår ej; huvudbegreppet här är invarianta delrum, som vi studerar mer i Kap. 8 tillsammans med Jordanformer.) Del av Kap. 4.1, binomialsatsen för matriser: LaTeX: \left(A+B\right)^n =\sum_{k=0}^n \binom nk A^{n-k}B^k om LaTeX: AB=BA dvs binomialsatsen gäller för matriser, om A och B kommuterar med varandra.

 

Metoder: Karakteristiska polynom det(A-\lambda I) och dessa rötter; egenvektorsekv.

(A-\lambda I) v=0.

Teori: Existens av egenvärden. Linjärt oberoende/oberoende av egenvektorer. Diagonaliserbar och kriterier.
39

Diagonalisering och linjära differentialekvationer.

 

 

 Kap. 4. Diskreta ekvationer LaTeX: {\bf x}_{n+1} =A {\bf x}_n, n=0, 1, 2, \dots.

Differentialekv. LaTeX: {\bf x}'(t)= A{\bf x}(t), \, t\ge 0.

Exponentialfunktionen e^A.

 

Metoder: Att beräkna A^n, e^A m.h.a. diagonalisering (eller enkla Jordanformer).

Teori: Stabiliteten. Konvergensen/existensen/räkningsregler för e^A.
40

Skalärprodukter.

Cauchy- Schwarz olikhet.

Ortogonala bas (OB).

Riesz sats.

 

Kap. 5.2-5.3. 

Del av Kap. 6: Introduktion till duala rum, Riesz sats. (Boken av [A] S. Axler,

Linear Algebra Done Right, Chapt 3.F, har mer detaljerade teori om duala rum, baser, duala baser etc. Derekommenderas speciellt för matte studenter)

 

 

CS olikhet (bevis).

GS-procedur att hitta OB

Ortogonala projektioner.

Avstånd mellan vektor och delrum.

Riesz Sats: Linj funktion vs skalär produkt.
41

  Rangsaten för A och A*

Spektralsatsen for symmetriska reella matriser och självadjungerade komplexa matriser.

 

Kap. 6.

Kap. 7.1-7.3.

(Väldigt kort om) Kap. 7.4 (spektralteori för normala operatorer).

(Kap. 7.5-7.6 ingår ej.) 

Del av Kap. 8.

 

Rangsatsen för A, A^*: Ortogonal relation mellan Ker A och Ran A^*.

Spektralteori för A=A^*: Ortogonal relation för egenvektorer, reella egenvärden.

 
42

Nilpotenta operatorer. Jordans normalform. 

Repetition, Torsdag.

 

Kap. 8.1-8.2 (med detaljer)

Kap. 8.3-8.4 (bara en kort sammanfattning.)

Repetition/Sammanfattning.

 

Varje komplex matrix kan skrivas som

D + N, på ett kanoniskt sätt,  där D är diagonalbar och N är nilpotent. (Jordans normalform)
43 TENTAMEN, 2023-oktober-26

 

 

 

 

P2.  Räkneövningar

 

 

Nedan ges  (R) Rekommenderade Uppgifter och (D) Demonstrationsuppgifter. Bra att kolla och försöka lösa uppgifterna, eller formulera några frågor till lärare/övningsledare.

Uppgifter markerade med * är lite mer avancerade.  

(Demo. uppgifter är en preliminär planering, ska uppdateras) 

 

Vecka 35.

(Rec.)  Kap. 1:  1*, 2, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 14*, 15, 16.

(Demo.)  Kap. 0: 2(c). Kap. 1:  1(c),  4,   11(b)(c); 9(c), 10(e), 16(b)(c), 14.  (Det kommer bli en del förklaringar/påminnelser av Lin. Alg. I)

(Anmärkn om Notation: R_0^\infty betecknas också som c_0, likadant R_00^\infty som c_00).

Vecka 36.

(R) Kap. 1:  18, 19, 20, 21.

     Kap. 2:  1,  2, 3, 4, 6, 20, 7, 8, 9. 

(D)  Kap. 1: 17, 19, 21,

       en variant av 20/21: Antag att U, V är två delrum till C^8 och dim U= 5, dim V=6. Hitta alla möjliga dim (U\cap V),   (U\cap V=U snitt V)  och motsvarande ex.. 

      Kap. 2:  3 (och diskussion med studenter om ytterligare frågor: Är T injektiv, surjektiv?), 7,  12.  Quiz-frågor.

Vecka 37.

(R)  Kap. 2.  Inverterbar, dimension, rank T, rangsatsen etc:  10, 12, 14*, 15,  23*.

Matris vs Lin. avbilding, matris för basbyte: 16, 17, 18, 19

 (D).   Kap. 2:  8,  14* (och diskussion med studenterna om motsvarande samband för Rank(ST).) , 17, 19, 20, 21, 22(c)(d)*(uppdaterad version - fel facit i [CZ])

Vecka 38.

(R) Kap. 3: 1-10, 11*, 14, 15, 16,  17*, 18*, 20, 21, 23, 24. 

      Kap. 4: 11, 24.

(D) Kap. 3:  1 (d), (g), 2(b), 5, 6, 11*, 17*, 18*. 22. 23 Frågor/diskussioner om quiz-frågor.

Vecka 39.

(R) Kap. 4: 1, 2, 3, 5, 7, 12, 14, 16, 18, 19, 20, 28. 

(D) Kap. 4: 1, 5, 10, 26, 29, 30. 

 Vecka 40.

(R) Kap 5:  2, 3, 5, 6,  7, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16; Kap. 4: 22 (om ortogonal projektion).

      Extra uppgifter om elementära egenskaper om duala rum, speciellt för matte studenter:  [A] S. Axler, LADR, s. 113, Ex. 6, 7.

     (Se filen här   om du inte har tillgång till Chalmers/GUs elektroniska version av boken.  Dualbasen f_1, ..., f_n till en bas e_1, ..., e_n, är linjära funktioner sådana att

f_i(e_j)= 1, om i=j, och f_i(e_j)=0 annars; jämför standard kolonnbasvektorer e_j vs standard radbasvektorer e_j^T.)

(D) Lösning på Dugga V39.  Kap. 5: 2, 6(a)(c)(f), 14 (diskussion om att hitta en icke symmetrisk 2x2 matris A, A^2=A). 16(c)(d)(e); Quiz-frågor. Kap. 4:22. 

    

Vecka 41.

(R) Kap. 6:  3, 5, 6, 7, 8,  10(a), 11, 12,  14, 15, 17, 18,  20, 21,  23. 

     Kap. 7:  1, 2, 4, 7, 10, 12, 14*

(D) Kap. 6:  5, 6(a), 8(b)(c), 17(d), 21,  

     Kap. 7:  1(d)(g)(j), 2(c), 10(b), 14*.

     Kap. 8, 7(c)

Vecka 42.

(R) Kap. 8: 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 13, 15*.

(D) Kap. 8: 1, 5, 8(c)(d), 13.

(Ext) (Extra uppgifter för er som är intresserade av att läsa mer om Jordanformer)

       [A] LADR, Ex 8. D, 3, 5  (minimal polynom för nilpotent matris kallas också ordning, dvs minsta heltal p sådan att N^p=0; se också Uppg Kap. 8.4 ovan.)

(Ext) (Extra uppgift om C-H-sats)

Repetitionsfrågor.

 

    

 

P3. Dugga och Quiz

Tre quiz och en dugga. 

Quiz V36, V38 och V40; quiz ska publiceras här i Canvas. Varje quiz ska vara tillgängligt i tre dagar måndag f.m -onsdag innan 13:00, och skall lämnas innan torsdag, t. ex. det 1:a quizzet kommer  måndag den 4/sept.  Det går bra att diskutera med varandra men du skall göra ev ett självständigt svar. Vissa quiz-frågor skall tas upp under lektioner (föreläsningar) på  torsdagar.

Dugga Tors V39. Dugga-uppgifterna är här. De svåra Dugga-uppgifter ska ges korta lösning/ledning under lektionen torsdag V40.

 

Totalt 24 p= 3x4p + 12p  som ger max 2 bonus p till tentan enligt följande tabel,

Dugga+Quiz : bonus p.

10-13:      0,5

14-17:    1

18-21:  1,5

22-24:  2

Dugga:  Lokal och tid skall meddelas.  Duggan följer samma regler/bestämmelser som en tenta, självständiga skrivningar och inga hjälpmedel.

Dugga-övningar  och tidigare duggor:

Övningar inför Duggor (med facit):  

(Dugga-1 ska omfatta alla material som vi har gått genom, till och med tisdag V37)

 Dugga-1-2022-prep (med facit).

Dugga-1-2020-prep och facit.

(Dugga-2 ska omfatta alla material som vi har gått genom, till och med tisdag V40)

Dugga-2-2022-prep

Dugga-2-2020-prep (Lösningsförslag till 1.1 och 2)

Duggor:

Dugga-I/II uppgifter finns under rubriken Uppgifter. Lösningarna hade presenterats under lektioner

Dugga-1-2022,

Dugga-2-2022, 

 Dugga-1-2020, 

Dugga-2-2020,  

 Dugga-1-2019,   

Dugga-2-2019

(Lösningsförslag Dugga-1-2020-LSN-EX,   Dugga-2-2020-LSN-EX, Dugga-2-2019)

   

P4.  Tentamina

Tentamen torsdag den 26 oktober 2023.

Omtentor:

                Torsdag 4 januari 2024, kl 14.00-18.00

och augusti 2024 (exakt datum meddelas senare).

Kursplan, teorikrav (lista av satser, bevis mm), tidigare tentor med lösningar/facit finns på kurs-PM.

Det skall vara en tenta för båda LGMA66 och MMG400.

 

 

 

Kurssammanfattning:

Kurssammanfattning
Datum Information Sista inlämningsdatum