Kursöversikt

Hoppa fram till i dag

På denna sida finns programmet för kursen: föreläsningar, räkneövningar och dugga/quiz, och information om tentan. Övriga informationer och uppgifter, såsom t.ex. kursmål, teorikrav, lärare, kurslitteratur och examination, kursrepresentanter, finns i ett separat kurs-PM.

Föreläsningar av Genkai och Lektioner av Victor.

Program

Tid/Schema: Kursens schema finns i TimeEdit.
Kurslitteratur: Vi ska använda Föreläsningsanteckningar av Hasse Carlsson och mig [CZ], se P1 nedan.
Lin. Alg. 1: För att lyckas med Linjär Algebra II måste man veta alla viktiga begrepp och resultat från Lin. Alg I. (En kort sammanfattning av Lin Alg I finns i Kap 0 i föreläsningsanteckningar nedan.)
Tidigare kurslitteraturer för Lin. Alg. I:

[DL] David Lay, Linear Algebra and tis applications

för Lin. Alg I, MMG. Det rekommenderas att alla studenter, fysik-elever, matte-elever, diskuterar och hjälper varandra, och att göra många (!) övningar.

(OBS! Från och med 2022 erbjuds lärarstudenter en annan mindre teoretisk kurs
än LGMA66, LGMA67 som innehåller också programmering. Men lärarstudenter är välkommna att läsa LGMA66.)

P1. Föreläsningar (planering, viktiga begrepp/teorier)

Kursmaterial/litteratur, Lin Alg. II: Vi kommer att använder överhuvudtaget

[CZ] Hasse Carlsson och Genkai Zhang, Föreläsningsanteckningar (senast version 2024-juni)

(Vi har reviderat texten flera gånger.) Alla feedback/kritik om anteckningarna välkomna.

I de nya anteckningarna finns mer exempel, övningar med facit/förslag till svar/ledningar.

Följande avsnitt ingår EJ i kursen:

Kap. 1.6 (Oändl. dim. vektorrum),
Kap. 3.3-3.4 (Alternativt bevis för existens av egenvektorrum i komplex vektorrum, invariant delrum i reella vektorrum, invarianta rum studeras senare i Kap. 7-8),
Kap. 4.4-4.6 (Bevis för räkneregler för e^A och ekv av högre ordning),
del av Kap. 7.4 (vi skall ge en kort introduktion till normal operatorer), 7.5-7.7 (Schur sats och faktoriseringsatser),
del av Kap 8.4 (vi skall förklara C-H sats med exempel)

Relevanta kurslitteraturer (för er som vill veta mer):

[A] S. Axler, Linear Algebra Done Right (LADR), Springer. Här är länken till Chalmbers biblioteks elektronisk version:

https://eds.s.ebscohost.com/eds/detail/detail?vid=4&sid=63b54ea6-7209-49a6-8ec9-dddda02b67c4%40redis&bdata=JnNpdGU9ZWRzLWxpdmUmc2NvcGU9c2l0ZQ%3d%3d#AN=clec.SPRINGERLINK9783319110806&db=cat07472a

(En del studenter tycker om den här boken, speciellt uppgifterna dår. Jag kommer

att rekommendera uppgifterna här också.)

S. Treil, Linear Algebra Done Wrong, Springer.

Vecka	Innehåll	Avsnitt	Viktiga begrepp. Sammanfattning
36	Reptition/Sammanfattning Lin. Alg. I. Översikt Lin. Alg II. Vektorrum, delrum, linjärt oberoende.	Kap. 0. Översikt. Kap. 1.1-1.3	Vektorrum. Delrum. Linjära kombinationer. Span(v_1, v_2, ..., v_n)
37	Linjärt oberoende. Bas, dimension. Linjära avbildningar. Isomorfier. Ker T, Ran T, rank T; bijektion, injektion, surjektion.	Kap. 1.4, (kort om) Kap. 1.5. Kap. 2.1-2.3.	Viktiga begrepp: Bas, dimension, koordinater; linjär avbildning, Ker T, Ran T, rank T. (Koncentrera på dessa viktiga begrepp först och gör övningar, kolla exempel)
38	Basbyten och determinanten det T	Kap. 2.3. (Anmärkn om notation $LaTeX: [T]_{\mathcal C \mathcal B}$ : Vi betecknar basbytesmatrisen för $LaTeX: T: (V, \mathcal B) \to (W, \mathcal C)$ från $LaTeX: \mathcal B$ tll $LaTeX: \mathcal C$ som $LaTeX: [T]_{\mathcal C \mathcal B}$ , dvs det är $LaTeX: [T]_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}$ , som är kompatibel med $LaTeX: [T\bf v]_{\mathcal C}=[T]_{\mathcal C\leftarrow \mathcal B} [\bf v]_{\mathcal B}=[T]_{\mathcal C \mathcal B} [\bf v]_{\mathcal B}$ . (I vissa böcker betecknas den som $LaTeX: [T]_{\mathcal B \mathcal C}$ .)	Matrisen $LaTeX: [T]_{\mathcal C\mathcal B}$ för en linjär avbildning $LaTeX: T: V\to W$ med en bas $LaTeX: \mathcal B$ i V och en bas $LaTeX: \mathcal C$ i W. Sammansättning vs matrisprodukt: $LaTeX: [ST]_{\mathcal C\mathcal A} =[S]_{\mathcal C\mathcal B} [T]_{\mathcal B\mathcal A}$ . Determinanten $LaTeX: \det T$ $LaTeX: :=\det [T]_{\mathcal B}$ för en linjär avb. $LaTeX: T: V\to V$ är väl-definierad (dvs oberoende på valet av en bas) och uppfyller samma räkneregler som för matriser.
39	Rangsatsen. Egenvektorer, egenvarden och diagonalisering.	Kap. 2.4. Kap. 3.1-3.2. (Kap. 3.3-3.4 ingår ej; huvudbegreppet här är invarianta delrum, som vi studerar mer i Kap. 8 tillsammans med Jordanformer.)	Rangsatsen för T: V\to W, dim V= dim Ker T + rank K; grovt sagt: Skillnaden mellan dimensionen dim V av V och dim Ker T av delrummet Ker T är precist rank T. Egenvektorer och diagonalisering. Huvudsats: Egenvektorer med olika egenvärden är linjärt oberoende.
40	Diagonalisering, exponentiala funktionen e^A, tillämpningar på system of diskreta ekvationer/system av differentialekvationer.	Kap. 4. Matris-potens A^n, matris-exponential e^A; (system av) diskreta ekvationer x_{n+1}= A x_n, n=0, 1, ..., och (system av) differentialekvationer x'(t) = A x(t). Teori: Definition och beräkning av exp(A). Binomialsatsen för matriser, $LaTeX: \left(A+B\right)^n =\sum_{k=0}^n \binom nk A^{n-k}B^k$ om dvs binomialsatsen gäller för matriser, om A och B kommuterar med varandra.	Teori: Binomialsatsen för $LaTeX: (A+B)^{n};$ $LaTeX: \boxed{\frac{d e^{tA}}{dt}=(e^{tA})' = Ae^{tA}};$ $LaTeX: \boxed{e^{A+B} = e^A e^B}$ om , dvs om de kommuterar med varandra. Tillämpning: Diskretsystemet $LaTeX: \mathbf x_{n+1} = A \mathbf x_n, n=0, 1, 2, \cdots$ har lösningen $LaTeX: \boxed{\mathbf x_n = A^n \mathbf x_0}.$ Kontinuerliga systemet $LaTeX: \mathbf x'(t)= A \mathbf x(t), t\ge 0$ har lösn $LaTeX: \boxed{\mathbf x(t)= e^{tA}\mathbf x(0), t\ge 0.}$ $LaTeX: A^n, e^{tA}$ beräknas med hjälp av diagonalisering och räknesreglerna. Stabiliteten för systemen avgör man m.h.a. egenvärden för A. (Se detailjer i anteckningarna)
41	Skalärprodukter. Cauchy- Schwarz olikhet. Ortogonala bas (OB). Riesz sats.	Kap. 5.1-5.3. Del av Kap. 6: Introduktion till duala rum, Riesz sats. (Boken av [A] S. Axler, Linear Algebra Done Right, Chapt 3.F, har mer detaljerade teori om duala rum, baser, duala baser etc. Derekommenderas speciellt för matte studenter)	Teori: Inreprodukten, CS olikhet, ortogonala baser/komplement/projektioner, avstånd. Beräkningar: GS-process, ortogonala projektioner, avstånd.
42	Rangsaten för A och A* Spektralsatsen for symmetriska reella matriser och självadjungerade (s. a. ) komplexa matriser.	Kap. 6. Kap. 7.1-7.3. (Väldigt kort om) Kap. 7.4 (spektralteori för normala operatorer). (Kap. 7.5-7.6 ingår ej.)	Tre satser: Riesz sats för dualrummet V: Varje element T i V representeras av en vektor v i V, T(x) =<x, v>, för alla x i V. Rangsatsen för T och T: Ker T och Ran T är varandras ortogonala komplement; rank T= rank T. Spektralsatsen för s. a. avbildning: En s. a. avbildning har reella egenvärden och egenvektorer med olika egenvärden är ortogonala. Beräkning: Bestäm Riesz presentanter, Tillämpningar: (Teoretiska) Uppgifter om s.a. avbildningar och Ker T, Ran T, Ker T* och Ran T.
43	Nilpotenta operatorer. Jordans normalform. Repetition, Torsdag.	Kap. 8.1-8.2 (med detaljer) Kap. 8.3-8.4 (bara en kort sammanfattning.) Repetition/Sammanfattning.	Två viktiga satser: Sats 1. Varje nilpotent nxn-matris är similär (konjugerad) med en Jordanform (som kan beskrivas med hjälp av partitioner av n; med andra ord, det finns bara ändligt många nilpotenta matriser upp till konjugering.) Sats 2. Varje komplex nxn-matris är similär (konjugerad) med en Jordanmatris. (Med andra ord: Varje matris bestäms upp till konjugering av (a) Egenvärden, (b) Dimensionerna av generaliserade egenrumen, och (c) Partitioner av dimensionerna (b).) Beräkning/Problemlösning: Jordanform för enkla matriser och teoretiska tillämpningar Sats 1, 2 och C-H sats.

Vecka

Innehåll

Avsnitt

Viktiga begrepp. Sammanfattning

Reptition/Sammanfattning Lin. Alg. I.

Översikt Lin. Alg II.

Vektorrum, delrum, linjärt oberoende.

Kap. 0. Översikt.

Kap. 1.1-1.3

Vektorrum.

Delrum.

Linjära kombinationer.

Span(v_1, v_2, ..., v_n)

Linjärt oberoende. Bas, dimension. Linjära avbildningar. Isomorfier. Ker T, Ran T,

rank T; bijektion, injektion, surjektion.

Kap. 1.4, (kort om) Kap. 1.5.

Kap. 2.1-2.3.

Viktiga begrepp: Bas, dimension, koordinater; linjär avbildning, Ker T, Ran T, rank T. (Koncentrera på dessa viktiga begrepp först och gör övningar, kolla exempel)

Basbyten och determinanten det T

Kap. 2.3.

(Anmärkn om notation $LaTeX: [T]_{\mathcal C \mathcal B}$ : Vi betecknar basbytesmatrisen för $LaTeX: T: (V, \mathcal B) \to (W, \mathcal C)$ från $LaTeX: \mathcal B$ tll $LaTeX: \mathcal C$ som $LaTeX: [T]_{\mathcal C \mathcal B}$ , dvs det är

$LaTeX: [T]_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}$ , som är kompatibel med

$LaTeX: [T\bf v]_{\mathcal C}=[T]_{\mathcal C\leftarrow \mathcal B} [\bf v]_{\mathcal B}=[T]_{\mathcal C \mathcal B} [\bf v]_{\mathcal B}$ .

(I vissa böcker betecknas den som $LaTeX: [T]_{\mathcal B \mathcal C}$ .)

Matrisen $LaTeX: [T]_{\mathcal C\mathcal B}$ för en linjär avbildning $LaTeX: T: V\to W$ med en bas $LaTeX: \mathcal B$ i V och en bas $LaTeX: \mathcal C$ i W.

Sammansättning vs matrisprodukt: $LaTeX: [ST]_{\mathcal C\mathcal A} =[S]_{\mathcal C\mathcal B} [T]_{\mathcal B\mathcal A}$ .

Determinanten

$LaTeX: \det T$ $LaTeX: :=\det [T]_{\mathcal B}$

för en linjär avb. $LaTeX: T: V\to V$ är väl-definierad (dvs oberoende på valet av en bas) och uppfyller samma räkneregler som för matriser.

Rangsatsen. Egenvektorer, egenvarden och diagonalisering.

Kap. 2.4. Kap. 3.1-3.2. (Kap. 3.3-3.4 ingår ej; huvudbegreppet här är invarianta delrum, som vi studerar mer i Kap. 8 tillsammans med Jordanformer.)

Rangsatsen för T: V\to W,

dim V= dim Ker T + rank K;

grovt sagt: Skillnaden mellan dimensionen dim V av V och dim Ker T av delrummet Ker T är precist rank T.

Egenvektorer och diagonalisering. Huvudsats: Egenvektorer med olika egenvärden är linjärt oberoende.

Diagonalisering, exponentiala funktionen e^A, tillämpningar på system of diskreta ekvationer/system av differentialekvationer.

Kap. 4. Matris-potens A^n, matris-exponential e^A; (system av) diskreta ekvationer

x_{n+1}= A x_n, n=0, 1, ...,

och (system av) differentialekvationer

x'(t) = A x(t).

Teori: Definition och beräkning av exp(A). Binomialsatsen för matriser, $LaTeX: \left(A+B\right)^n =\sum_{k=0}^n \binom nk A^{n-k}B^k$ om LaTeX: AB=BA dvs binomialsatsen gäller för matriser, om A och B kommuterar med varandra.

Teori:

Binomialsatsen för $LaTeX: (A+B)^{n};$

$LaTeX: \boxed{\frac{d e^{tA}}{dt}=(e^{tA})' = Ae^{tA}};$

$LaTeX: \boxed{e^{A+B} = e^A e^B}$ om LaTeX: AB=BA , dvs om de kommuterar med varandra.

Tillämpning: Diskretsystemet

$LaTeX: \mathbf x_{n+1} = A \mathbf x_n, n=0, 1, 2, \cdots$

har lösningen

$LaTeX: \boxed{\mathbf x_n = A^n \mathbf x_0}.$

Kontinuerliga systemet

$LaTeX: \mathbf x'(t)= A \mathbf x(t), t\ge 0$

har lösn

$LaTeX: \boxed{\mathbf x(t)= e^{tA}\mathbf x(0), t\ge 0.}$

$LaTeX: A^n, e^{tA}$ beräknas med hjälp av diagonalisering och räknesreglerna.

Stabiliteten för systemen avgör man m.h.a. egenvärden för A. (Se detailjer i anteckningarna)

Skalärprodukter.

Cauchy- Schwarz olikhet.

Ortogonala bas (OB).

Riesz sats.

Kap. 5.1-5.3.

Del av Kap. 6: Introduktion till duala rum, Riesz sats. (Boken av [A] S. Axler,

Linear Algebra Done Right, Chapt 3.F, har mer detaljerade teori om duala rum, baser, duala baser etc. Derekommenderas speciellt för matte studenter)

Teori: Inreprodukten, CS olikhet, ortogonala baser/komplement/projektioner, avstånd.

Beräkningar: GS-process, ortogonala projektioner, avstånd.

Rangsaten för A och A*

Spektralsatsen for symmetriska reella matriser och självadjungerade (s. a. ) komplexa matriser.

Kap. 6.

Kap. 7.1-7.3.

(Väldigt kort om) Kap. 7.4 (spektralteori för normala operatorer).

(Kap. 7.5-7.6 ingår ej.)

Tre satser:

Riesz sats för dualrummet V*:

Varje element T i V* representeras av en vektor v i V, T(x) =<x, v>, för alla x i V.

Rangsatsen för T och T*:

Ker T och Ran T* är varandras ortogonala komplement;

rank T= rank T*.

Spektralsatsen för s. a. avbildning: En

s. a. avbildning har reella egenvärden och egenvektorer med olika egenvärden är ortogonala.

Beräkning: Bestäm Riesz presentanter,

Tillämpningar: (Teoretiska) Uppgifter om s.a. avbildningar och Ker T, Ran T*, Ker T* och Ran T.

Nilpotenta operatorer. Jordans normalform.

Repetition, Torsdag.

Kap. 8.1-8.2 (med detaljer)

Kap. 8.3-8.4 (bara en kort sammanfattning.)

Repetition/Sammanfattning.

Två viktiga satser:

Sats 1. Varje nilpotent nxn-matris är similär (konjugerad) med en Jordanform (som kan beskrivas med hjälp av partitioner av n; med andra ord, det finns bara ändligt många nilpotenta matriser upp till konjugering.)

Sats 2. Varje komplex nxn-matris är similär (konjugerad) med en Jordanmatris. (Med andra ord: Varje matris bestäms upp till konjugering av (a) Egenvärden, (b) Dimensionerna av generaliserade egenrumen, och (c) Partitioner av dimensionerna (b).)

Beräkning/Problemlösning: Jordanform för enkla matriser och teoretiska tillämpningar Sats 1, 2 och C-H sats.

P2. Räkneövningar

Nedan ges (R) Rekommenderade Uppgifter och (D) Demonstrationsuppgifter. Bra att kolla och försöka lösa uppgifterna, eller formulera några frågor till lärare/övningsledare.

Uppgifter markerade med * är lite mer avancerade.

(Demo. uppgifter är en preliminär planering, ska uppdateras)

Vecka 36.

(Rec.) Kap. 1: 1*, 2, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 17*.

(Demo.) Kap. 0: 2(d). Kap. 1: 1(c), 2(c)(d), 4, 13(b)(c); 11(c), 12(e). (Det kommer bli en del förklaringar/påminnelser av Lin. Alg. I)

(Anmärkn om Notation: R_0^\infty betecknas också som c_0, likadant R_00^\infty som c_00).

Vecka 37.

(R) Kap. 1: 19, 20, 21, 22, 23, 24.

Kap. 2: 1, 2, 3, 4, 6, 22, 7, 8, 9.

(D) Kap. 1: 17, 19, 20, 23,

en variant av 22/23: Antag att U, V är två delrum till C^8 och dim U= 5, dim V=6. Hitta alla möjliga dim (U\cap V), (U\cap V=U snitt V) och motsvarande ex..

Kap. 2: 3 (och diskussion med studenter om ytterligare frågor: Kan T vara injektiv, surjektiv?), 6, 7, 12. Quiz 0-frågor.

Vecka 38.

(R) Kap. 2. Inverterbar, dimension, rank T, rangsatsen etc: 10, 14*, 15, 25*.

Matris vs Lin. avbilding, matris för basbyte: 16, 17, 18, 19, 23.

(D). Kap. 2: 8, 14* (och diskussion med studenterna om motsvarande samband för Rank(ST).) , 17, 21, 22, 24(c)(d)*

Vecka 39.

(R) Kap. 3: 1-10, 11*, 14, 15*, 16, 17*, 18*, 20, 21, 23, 24, 25*.

(D) Kap. 3: 1 (d), (g), 2(b), 5, 6, 11*, 17*, 18*. 22. 23. Frågor/diskussioner om quiz-frågor.

Vecka 40.

(R) Kap. 4: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 12, 14, 16, 18, 19, 20, 24, 28.

(D) Kap. 4: 1, 5, 10, 26, 29, 30.

Vecka 41.

(R) Kap 5: 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 17; Kap. 4: 22 (om ortogonal projektion).

Extra uppgifter om elementära egenskaper om duala rum, speciellt för matte studenter: [A] S. Axler, LADR, s. 113, Ex. 6, 7. (Axlers bok finns i länken ovan,)

(D) Kap. 5: 2, 6(a)(c)(f), 9, 14 (diskussion om att hitta en icke symmetrisk 2x2 matris A, A^2=A). 16(c)(d)(e), 17; Kap. 4:22.

(Gp-diskussion). Övning med gruppdiskussioner tors e.m. 2024-10-10. Här är uppgifterna.

Vecka 42.

(R) Kap. 6: 3, 5, 6, 7, 8, 10(a), 11, 12, 14, 15, 17, 18, 20, 21, 23.

Kap. 7: 1, 2, 4, 7, 10, 12, 14*, 15*

(D) Kap. 6: 5, 6(a), 8(b)(c), 11, 17(d), 21,

Kap. 7: 1(d)(g)(j), 2(c), 10(b), 14*.

Kap. 8, 7(c)

Vecka 43.

(R) Kap. 8: 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 13, 15*.

(D) Kap. 8: 1, 5, 8(c)(d), 13, 18

(Ext) (Extra uppgifter för er som är intresserade av att läsa mer om Jordanformer)

[A] LADR, Ex 8. D, 3, 5 (minimal polynom för nilpotent matris kallas också ordning, dvs minsta heltal p sådan att N^p=0; se också Uppg Kap. 8.4 ovan.)

(GT) Gamla tentor, mest tentor 2023-24.

(Rep) Repetitionsfövningar.

P3. Quiz och Dugga

Tre quiz och en dugga.

Quiz V37, V40 och V42; quiz ska publiceras här i Canvas (se rubriken Quiz). Varje quiz ska vara tillgängligt i tre dagar tisdag - fredag, och skall lämnas innan fredag eftermiddag; det 0:e quizzet (för att testa) kommer måndag den 4/sept. Det går bra att diskutera med varandra men du skall göra ev ett självständigt svar. Vissa quiz-frågor skall tas upp under lektioner/föreläsningar.

Dugga: Tors V39, kl. 13;15-14:55, två lokaler: MVF33 för fysikstudenter, och MVF26 för Mattestudenter. Studenterna som har speciella behov (eller har rätt för förlängda tentatider) får kontakta mig innan, och vi ska försöka ordna någon lokal efter kl. 15:00.

Totalt 24 p= 3x4p + 12p som ger max 2 bonus p till tentan enligt följande tabel,

Dugga+Quiz : bonus p.

10-13: 0,5

14-17: 1

18-21: 1,5

22-24: 2

Dugga: Lokal och tid skall meddelas. Duggan följer samma regler/bestämmelser som en tenta, självständiga skrivningar och inga hjälpmedel.

Dugga-prep och tidigare duggor:

Dugga-1 ska omfatta alla material som vi har gått genom, till och med tisdag V39.

Dugga-preparation:

Dugga-1-2022-prep (med facit).

Dugga-1-2020-prep och facit.

(Dugga-2 ska omfatta alla material som vi har gått genom, till och med tisdag V40)

Dugga-2-2022-prep

Dugga-2-2020-prep (Lösningsförslag till 1.1 och 2)

Duggor:

(Vissa uppgifter hade tagits upp under lektioner/övningstillfällen tidigare. Fråga Genkai eller Viktor om ni har frågor.)

Dugga-2023

Dugga-1-2022,

Dugga-2-2022,

Dugga-1-2020,

Dugga-2-2020,

Dugga-1-2019,

Dugga-2-2019

(Lösningsförslag Dugga-1-2020-LSN-EX, Dugga-2-2020-LSN-EX, Dugga-2-2019)

P4. Tentamina

Tentamen (OBS ny tid!) 2024-11-01, 14:00-18:00.

Omtentor:

8 januari 2025 (ska bekräfta senare)

och

augusti 2025 (exakt datum meddelas senare).

Kursplan, teorikrav (lista av satser, bevis mm), tidigare tentor med lösningar/facit finns på kurs-PM.

Det skall vara en tenta för båda LGMA66 och MMG400.

Kurssammanfattning:

Kurssammanfattning
Datum	Information	Sista inlämningsdatum

Juli 2026

Kalender
Söndag	Måndag	Tisdag	Onsdag	Torsdag	Fredag	Lördag
29 June 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	30 June 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	1 July 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	2 July 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	3 July 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	4 July 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	5 July 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer
6 July 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	7 July 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	8 July 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	9 July 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	10 July 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	11 July 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	12 July 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer
13 July 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	14 July 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	15 July 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	16 July 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	17 July 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	18 July 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	19 July 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer
20 July 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	21 July 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	22 July 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	23 July 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	24 July 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	25 July 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	26 July 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer
27 July 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	28 July 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	29 July 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	30 July 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	31 July 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	1 August 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	2 August 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer
3 August 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	4 August 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	5 August 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	6 August 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	7 August 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	8 August 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer	9 August 2026 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer