MMG600 V25 Reell analys

Lärare Kurslitteratur Program Övningar
Studieresurser
 Kurskrav Duggor Användning av AI-verktyg
Examination Tentamensrutiner Kursutvärdering Gamla tentor

 

Aktuella meddelanden

Välkommen till kursen Reell analys!

 

Lärare

Kursansvarig/examinator: Thomas Wernstål, tel 772 3557, rum MVL 3037

Kurslitteratur

Walter Rudin: Principles of Mathematical Analysis, tredje upplagan. Kap 1-4, 7 (ej 7.28-7.33), 9

Föreläsningsanteckningar med bl.a. kompletterande innehåll som inte täcks av Rudin t.ex. vad det gäller konstruktion av de reella talen med hjälp av Cauchyföljder. Anteckningarna kommer publiceras under fliken Moduler efter respektive föreläsning.

Se även kurslitteraturlistan, där det även finns information om försäljningsställe.

Engelsk-svensk matematisk ordlista.

 

Program

Syftet med kursen är att ge en ökad förtrogenhet med de begrepp, metoder och idéer som genomsyrar den reella analysen, med tonvikt på begreppen konvergens och kontinuitet i metriska rum. I kursen ingår bland annat konstruktion av de reella talen, överuppräknelighet, topologi i metriska rum, kontinuitet och kompakthet, följder och funktionsföljder, funktioner av flera variabler och inversa funktionssatsen (med bevis).

Schema: Undervisningen består av föreläsningar/lektioner (oftast kl 8:00 - 11:45 på tisdagar i MVF33, samt torsdagar kl.10:00-11:45 i Euler & kl.13:15-15:00 i MVF33, men med undantag vissa veckor). För fullständigt, och uppdaterat, schema se TimeEdit.

Under kursen erbjuds tre duggor som kan ge bonuspoäng till den ordinarie tentan och de två efterföljande omtentorna. Duggorna ges under schemalagd tid i samma lokal som undervisningen. Mer detaljerad information om innehåll, tid och annat praktiskt kring duggorna kommer ges i samband med undervisningen och i anslag här på kurshemsidan (samt i korthet i nedanstående planering). Kom i tid till duggorna! Du riskerar att inte bli insläppt efter att duggan har startat.

Preliminärt program för föreläsningarna 

R=Uppgifter från kursboken (Rudin)  ;  Ö=Uppgifter ur övningshäftet  ;  *=kommer demonstreras på övningstid

t.ex. betyder Ö3: 1,5*,7 uppgift 3,5,7 på kapitel 3 i övningshäftet, varav uppgift 5 planeras att demonstreras vid tavlan på lämplig övningstid (om tid finns).

Vecka Dag Avsnitt Innehåll och kommentarer Rekommenderade uppgifter
v 13

Förel.1

Må 24/3

Föreläsningsanteckningar+

1.1 - 1.23

Introduktion till kursen

Bakgrund om tal, kroppar, ordningar och supremumegenskapen, samt lite om urvalsaxiomet.

Ö1: 3,4*,7,8,10,11,12*,13,15,20

R1: 1,8,9

Förel.2

Ti 25/3

Föreläsningsanteckningar+

2.1 - 2.14

Konstruktion av kroppen LaTeX: \mathbb{R} mha rationella Cauchyföljder.

Uppräknelighet och kardinalitet.

Ö2: 1,2,4,5*,6-11,12*,13b*,14*,15,16

Förel.3

To 27/3

 Föreläsningsanteckningar Fortsättning på konstruktionen av LaTeX: \mathbb{R}, som ordnad kropp med supremumegenskapen. 

 

Ö1: 25-34
v 14

Förel.4

Ti 1/4

 2.15 - 2.25

Metriska rum, hopningspunkter, öppna/slutna mängder, täthet mm

Ö2:21,24*,26,30,32,34,35*,81,45-51, 52*,58*,59,63

R2: 5-10

Förel.5

To 3/4

 2.26-2.35 forts. från föregående lektion, samt om kompakthet och öppna övertäckningar

Ö2:64-66,67*,68-71,73*,75*

R2: 12-15,29
v 15

Förel.6

Ti 8/4

2.36 - 2.42

3.1-3.2, 3.5-3.6

Heine-Borel's sats.

Följder och delföljder i metriska rum.

Bolzano–Weierstrass sats.

Ö3: 1-3,5

Förel.7

To 10/4

3.8 - 3.12

 

Cauchyföljder, fullständighet.

(övriga avsnitt i kap 3 ingår i tidigare analyskurser)

Dugga 1 (relaterar huvudsakligen till föreläsning 1 - 4)

Ö3: 7-10,13*,15,16,17*,18*,19

R3: 20,23
v 17

Förel.8

To 24/4

 4.1 - 4.12

Kontinuitet.

Ö4: 1-3,4*,5,6,8,9,11*,12,13,14*,15,16*,19

R4: 1-4,14
v18

Förel.9

Ti 29/4

 4.13 - 4.21

Likformig kontinuitet.

Urysohn's lemma.

Ö4: 21,22,23*,24,27-30

R4: 8,11
v19

Förel.10

Ti 6/5

2.45 - 2.47, 4.22 - 4.24

samt föreläsningsanteckningar

Sammanhängande mängder.

Ö4: 31-37, 38*,39*,40,41*, 43*,44*,45,46

R2: 19,20

Förel.11

To 8/5

7.1 - 7.18

7.16 - 7.25 läses kursivt.

7.26

Funktionsföljder (innehåll delvis känt från tidigare kurser).

Dugga 2  (relaterar huvudsakligen till föreläsning 5 - 7)

Weierstrass' approximationssats.

Ö7: 1-6,7*,8*,9

R7: 1-3,7,20
v 20

Förel.12

Ti 13/5

9.1 - 9.9

9.10 - 9.21

Linjära operatorer.

Differentierbarhet.

(innehåll delvis känt från tidigare kurser)

Ö9: 1-6

R9: 5-7

Förel.13

To 15/5

 9.22 - 9.29 Kontraktioner, fixpunkt, Inversa och Implicita funktionssatserna

Ö9: 7-18

R9: 16,23
v21

Förel.14

Ti 20/5

 9.24 - 9.29

forts. Inversa och Implicita funktionssatserna

Dugga 3 (relaterar huvudsakligen till föreläsning 8 - 11)

 

Förel.15

To 22/5

 Repetition och/eller gamla tentor.
v22

Förel.16

Ti 27/5

 Repetition och/eller gamla tentor.

 

Övningar

Rekommenderade övningsuppgifter (utöver de ur kursboken) finns samlade i dokumentet: Uppgifter

Vissa uppgifter i häftet utvecklar teorin, och är alltså del av kursens innehåll.

Huvuddelen av lektionerna kommer upptas av föreläsning, men det kommer också finnas tid för att ställa frågor (oftast i slutet av lektionerna) och demonstration av uppgifter. Oftast kommer jag själv att välja lämpliga uppgifter (ur övningshäftet och kursboken) för demonstration. I mån av tid och önskemål får även gärna kursdeltagare själva presentera lösningar vid tavlan. Hör i så fall av er till mig för mer instruktioner. 

 

To the top - Lärare - Kurslitteratur - Program - Övningar - Studieresurser - Kurskrav - Duggor - Examination - Tentamensrutiner - Kursutvärdering - Gamla tentor

 

Studieresurser

 
  • Den viktigaste resursen är lärarna på kursen. Använd undervisningstiden till att fråga lärarna, speciellt på räkneövningarna. Att ställa matematikfrågor via e-post är inte alls lika effektivt och lärare har oftast inte tid att besvara utan hänvisar till räkneövningar.
  • Mattesupporten (Länkar till en externa sida.) är öppen för alla som studerar matematik på Göteborgs universitet eller Chalmers. Stängd under corona-tiderna.
  • För dig som studerar på Göteborgs universitet och har behov av extra stöd för funktionsnedsättning – se information på GU samt rutinerna vid institutionen. 

Kurskrav

Kursens mål finns angivna i kursplanen.

Du förväntas kunna formulera och förstå alla kursens definitioner och satser, samt tillämpa dem. Mer specifikt kommer ...

  • minst 2 poäng på tentamen handla om konstruktionen av R (mha  Cauchyföljder). Det kan gälla definitioner, räkneregler och/eller bevis av delar i konstruktionen, och/eller exempel som illustrerar tal och beräkningar i konstruktionen.
  • minst 4 poäng på tentamen efterfråga bevis av satser/resultat från nedanstående "bevislista" 
  • minst 6 poäng på tentamen vara uppgifter som är snarlika, eller t.o.m. identiska, med någon/några av de uppsatta rekommenderade övningsuppgifterna och/eller exempel och teori från föreläsningarna (t.ex. definitioner, formulering av satser/resultat och/eller bevis av satser/resultat som inte ingår i "bevislistan" nedan).

"Bevislista":

  • LaTeX: \mathbb{R}^{} är överuppräkneligt (variant på Sats 2.14, se föreläsning 2)
  • Sats 2.30 (Mängd är öppen relativt det rum mängden ligger i)
  • Sats 2.34, samt att kompakt => begr (Kompakta delmängder är slutna och begränsade, se föreläsning 5)
  • Cor. till Sats 2.36 (Cantors inkapslingssats: oändligt snitt av minskande kompakta mängder är icke-tom)
  • Sats 2.37 (Oändlig delmängd av kompakt mängd har hopningspunkt)
  • Sats 2.40 (k-celler i LaTeX: \mathbb{R}^k är kompakta)
  • a => b i Sats 2.41 (Heine-Borel's sats: sluten och begränsad mängd i LaTeX: \mathbb{R}^{n} är kompakt)
  • Sats 3.6 (Begränsad följd i LaTeX: \mathbb{R}^{n} eller följd kompakt rum har konvergent delföljd)
  • Sats 3.11 (Bl.a. om att LaTeX: \mathbb{R}^{n} och kompakta rum är fullständiga)
  • Sats 4.8 (Funktion är kontinuerlig omm inversa bilden av öppen är öppen)
  • Sats 4.14 (Kontinuerlig bild av kompakt är kompakt)
  • Sats 4.19 (Kontinuerlig funktion på kompakt mängd är likformigt kontinuerlig)
  • Övn. 4:20-4:22 (Urysohn's lemma, samt relaterade resultat, se föreläsning 9)
  • Sats 4.22 (Kontinuerlig bild av sammanhängande är sammanhängande)
  • Sats 7.12, inklusive variant på Sats 7.11 i fallet då funktionerna är definierade i gränspunkten (Likformig konvergens av kontinuerliga funktioner konvergerar mot kontinuerlig funktion, se föreläsning 11)
  • Sats 7.8 (Cauchyvillkoret för likformig konvergens)
  • Sats 7.15 (C(X) är fullständigt)
  • Sats 9.8 (Bl.a. om att mängden av inverterbara linjära avbildningar är öppen)
  • Sats 9.23 (Banach fixpunktssats: Om fixpunkt till kontraktion på fullständigt rum)
  • Sats 9.24 (Inversa funktionssatsen - kan komma frågor på delar av beviset)

 

To the top - Lärare - Kurslitteratur - Program - Övningar - Studieresurser - Kurskrav - Duggor - Examination - Tentamensrutiner - Kursutvärdering - Gamla tentor

 

Duggor

Under kursens gång ges tre stycken duggor - se programmet ovan.
Varje dugga ger maximalt tre poäng. Genomsnittet av poängen på duggorna (avrundat till närmsta "halvtal") ger bonuspoäng till den skriftliga tentamen.

 

Användning av AI-verktyg

Under studierna är det fritt fram att använda AI-verktyg som stöd och hjälp. Tänk dock på att sådana verktyg inte är felfria och kan ge förklaringar utanför ramen för denna kurs, eller använda resultat som (för oss) kan ge cirkelargumentation. Rätt använt kan vektygen tillföra en dimension i studierna och ge utrymme för ökad förståelse, men fel använt (t.ex. att man bara nöjer sig med de svar den genererar, utan närmare analys och kritisk granskning) kan de istället ha negativ inverkan på lärandet. Tänk också på att man inte får ha några hjälpmedel alls på tentan, så den som allt för mycket förlitat sig på AI-verktyg under kursen kan få extra problem utan sådana hjälpmedel på tentamen. 

 

Examination

Kursen examineras genom en skriftlig tentamen lördagen den 7 juni kl.8:30-12:30 (se studieportalen för tillfällen vid omtentamen)
Tentamen består av ca 7 uppgifter som tillsammans ger 25 poäng. För att bli godkänd krävs 12 poäng och för att få väl godkänt krävs 20 poäng.

Under rubriken Kurskrav ovan finns närmare beskrivning av vad som kan komma att testas på tentamen.

Eventuella bonuspoäng från duggorna (max 3 poäng) får tillgodoräknas fram till och med andra omtentan, dvs januari 2026. 

To the top - Lärare - Kurslitteratur - Program - Övningar - Studieresurser - Kurskrav - Duggor - Examination - Tentamensrutiner - Kursutvärdering - Gamla tentor

 

Tentamensrutiner

I tentamensscheman anges alla tentor för respektive period. Eftersom tentorna skrivs på Chalmersområdet så gäller Chalmers regler för salstentamen. (Länkar till en externa sida.) Observera att du som går på GU ska anmäla dig till tentan via GU:s studentportal, där du även kan läsa om regler för examination vid GU. Tänk på att anmäla dig i tid till tentan!

Vid tentamen ska du kunna uppvisa giltig legitimation.

Du kan själv gå in i Ladok för att se dina resultat.

Granskning vid ordinarie tentamen:
Då det är praktiskt möjligt ordnas ett separat granskningstillfälle av tentamen. Tidpunkt för detta meddelas på kurshemsidan. Den som inte kan delta vid granskningen kan efter granskningstillfället hämta och granska sin tenta på Matematiska vetenskapers studieexpedition, se information om öppettider. (Länkar till en externa sida.) Kontrollera att Du har fått rätt betyg och att poängsumman stämmer. Eventuella klagomål på rättningen ska lämnas skriftligt på expeditionen, där det finns en blankett till hjälp.

Granskning vid omtentamen:
Tentorna granskas och hämtas ut på Matematiska vetenskapers studieexpedition, se information om öppettider (Länkar till en externa sida.). Eventuella klagomål på rättningen ska lämnas skriftligt på expeditionen, där det finns en blankett till hjälp.

 

To the top - Lärare - Kurslitteratur - Program - Övningar - Studieresurser - Kurskrav - Duggor - Examination - Tentamensrutiner - Kursutvärdering - Gamla tentor

 

Kursutvärdering

I början av kursen bör minst två studentrepresentanter utses för att tillsammans med lärarna genomföra kursutvärderingen. Utvärderingen sker genom samtal mellan lärare och studentrepresentanter under kursens gång samt vid ett möte efter kursens slut då enkätresultatet diskuteras och rapport skrivs.

Studentrepresentanter:

  • Isak Kobel, guskobis@student.gu.se
  • Oscar Ekström, oscareks@student.chalmers.se
  • Max Fölsch, folsch@student.chalmers.se

Enkatresultat_MMG600_V24.pdf

Rapport från möte med studentrepresentanterna efter senaste kursomgågen V24.

Gamla tentor

Tentor och lösningsförslag:

260107.pdf  ,  260107_losningar.pdf

250827.pdf  ,  250827_losningar.pdf

250607.pdf  ,  250607_losningar.pdf 

250107.pdf  ,  250107_losningar.pdf 

240828.pdf  ,  240828_losningar.pdf

240531.pdf  ,  240531_losningar.pdf

240103.pdf  ,  240103_losningar.pdf

230823.pdf  ,  230823_losningar.pdf

230602.pdf  ,  230602_losningar.pdf

Tentor för tidigare kursomgångar (med annan examinator):  190607,  190830,  200109,  210827,  220103

Här är mina lösningsförslag till dessa 5 salstentor.

 

To the top - Lärare - Kurslitteratur - Program - Övningar - Studieresurser - Kurskrav - Duggor - Examination - Tentamensrutiner - Kursutvärdering - Gamla tentor